Spline

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. maaliskuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 12 muokkausta .

Spline ( englanniksi  spline , sanasta [flat] spline  - joustava kuvio , joustava plasmakisko - metallinauha, jota käytetään kaarevien viivojen piirtämiseen) - matematiikan funktio , jonka alue on jaettu äärelliseen määrään segmenttejä, jokaisessa joista se osuu yhteen jonkin algebrallisen polynomin ( polynomin ) kanssa. Käytettyjen polynomien asteiden maksimiarvoa kutsutaan splinin asteeksi . Splinin asteen ja tuloksena olevan sileyden välistä eroa kutsutaan splinivirheeksi . Esimerkiksi jatkuva polyline on spline, jonka aste on 1 ja vika 1. Nykyisessä mielessä splinit ovat ratkaisuja monipisteisiin raja -arvoongelmiin ruudukkomenetelmillä.

Toisin sanoen spline on paloittain annettu funktio, toisin sanoen joukko useita funktioita, joista kukin on annettu jollakin argumenttiarvojoukolla, ja nämä joukot ovat pareittain hajallaan.

Splineillä on lukuisia sovelluksia sekä matemaattisessa teoriassa että sovelletussa matematiikassa (erityisesti erilaisissa tietokoneohjelmissa). Erityisesti kahden muuttujan splinejä käytetään voimakkaasti pintojen määrittämiseen erilaisissa tietokonemallinnusjärjestelmissä . Kahden argumentin splineitä kutsutaan bisplineiksi (esim. bicubic splineiksi), jotka ovat kaksiulotteisia splinejä, jotka mallintavat pintoja. Ne sekoitetaan usein B-spliineihin (perussplineihin), jotka ovat yksiulotteisia ja lineaarisessa yhdistelmässä muodostavat käyriä - kehyksen pintojen "venyttelylle". Perussplineistä on myös mahdollista luoda kolmiulotteinen rakenne kolmiulotteisten kappaleiden mallintamiseen.

Määritelmä ja historia

Spline ( eng.  spline ) oli joustava metalliviivain - universaali kuvio [1] , jota piirtäjät käyttivät pisteiden yhdistämiseen tasaisen käyrän piirustuksessa eli graafiseen interpolointiin .

Lisäksi eri pisteisiin kiinnitetyn joustavan viivaimen muodonmuutosta kuvaava käyrä on spline. Joten spline-funktiosta on olemassa fyysinen malli (tai päinvastoin spline-funktio on joustavan viivaimen matemaattinen malli). Intuitiivinen lähestymistapa palokohtaisten funktioiden käyttämiseen approksimaatioongelmissa on ollut matematiikassa jo pitkään. Fysikaalinen malli, jota kutsutaan splinin mekaaniseksi analogiaksi, on monitukipalkki, joka ei koe ulkoista kuormitusta ja jonka muodonmuutoksia aiheuttavat sisäiset reaktiot tukien tiettyihin siirtymiin kiinteisiin solmuihin. Matemaattisesti tätä mallia kuvataan palkin muodonmuutoksen differentiaaliyhtälöllä ja se on monipisteinen raja-arvotehtävä, jonka ratkaisemiseen käytettiin tuolloin tunnettua ruudukkomenetelmää, joka sai ratkaisun tässä muodossa, jota nykyään kutsutaan nimellä spline. Mutta kuten Neuvostoliiton tiedemies Nikolai Korneichuk huomauttaa , splainien tunkeutuminen approksimaatioteoriaan johtui interpolointiongelmasta niiden hyvien laskennallisten ja approksimatiivisten ominaisuuksien vuoksi. Splineillä on poikkeuksellisen hyvät approksimatiiviset ominaisuudet, monipuolisuus ja niistä johdettujen laskentaalgoritmien helppokäyttöisyys. Samaan aikaan splinien muodostamisen algoritmit ovat yhtäpitäviä elementtimenetelmän algoritmin kanssa , joka on tärkein teollinen lujuusanalyysimenetelmä tietokoneavusteisissa suunnittelujärjestelmissä (CAD).

Splinein interpoloinnin teoria ja termi spline juontavat juurensa Isaac Schönbergin vuonna 1946 julkaisemaan artikkeliin .  Sen kehitys oli erityisen intensiivistä 50-70-luvuilla. Tällä hetkellä CAD:stä on tullut perinteinen sovellusalue interpolointispliinien käytölle. Splainien potentiaali on kuitenkin paljon laajempi kuin vain joidenkin käyrien kuvaaminen. Todellisessa maailmassa monet fysikaaliset prosessit ovat luonteeltaan splaineja. Mekaniikassa tämä on erillisiin pisteisiin kiinnitetyn joustavan levyn tai tangon muodonmuutosta; kehon liikerata, jos siihen vaikuttava voima muuttuu portaittain (keinotekoisen avaruusobjektin liikerata, jolla on aktiiviset ja inertiasegmentit, ilma-aluksen lentorata, jossa moottorin työntövoima muuttuu askelittain ja siipiprofiili muuttuu , jne.). Termodynamiikassa tämä on lämmönsiirtoa sauvassa, joka koostuu fragmenteista, joilla on erilainen lämmönsiirto. Kemiassa diffuusio eri aineiden kerrosten läpi. Sähkössä sähkömagneettisten kenttien eteneminen heterogeenisten välineiden läpi. Toisin sanoen spline ei ole kuvitteellinen matemaattinen abstraktio , ja monissa tapauksissa se on ratkaisu differentiaaliyhtälöihin, jotka kuvaavat hyvin todellisia fysikaalisia prosesseja.

Splainit huomioiden aloitamme algebrallisen splainin määritelmällä. Segmentillä määriteltyä ja jatkuvaa funktiota kutsutaan polynomiaaliseksi splineiksi , jossa on solmuja , jos jokaisessa segmentissä on algebrallinen polynomi, jonka aste ei ylitä , ja jokaisessa pisteessä jollakin derivaatalla voi olla epäjatkuvuus. Jos funktiot pisteissä ovat jatkuvia ja derivaatat pisteissä ovat epäjatkuvia, niin lukuja kutsutaan spline-virheiksi . Joukkoa kutsutaan spline-solmujen ruudukoksi , ja pisteitä  kutsutaan splinen solmuiksi , kosketuspisteiksi tai liimauspisteiksi.

Kuten määritelmästä seuraa, fragmenteista koostuvan splainin rakentamiseksi on löydettävä kullekin fragmentille sellaiset numeeristen parametrien arvot - astepolynomi , joka varmistaa jatkuvuuden sekä itse funktion että tarvittavan solmuissa. johdannaisia. Joten sinun tarvitsee vain määrittää parametrit. Ottaen huomioon interpolointiehdon ja kahden ensimmäisen derivaatan jatkuvuuden parametrien määrittäminen rajoittuu lineaarisista yhtälöistä koostuvan järjestelmän ratkaisemiseen. Yleensä polynomien segmenttien kertoimien arvoja ei lasketa suoraan.

Interpolaatiosplainin määrittämiseksi jatkuvalla ensimmäisellä derivaatalla riittää, että lasketaan ensimmäisen derivaatan arvo solmuissa. Tapa, jolla johdannaiset spline-solmuissa määritellään, määrittää laajan valikoiman interpoloivia splineitä. Usein derivaattoja ei määritellä vakioiksi, vaan joiksikin riippuvuuksiksi interpoloidusta funktiosta ja interpolointiruudukosta.

Jos ensimmäisen derivaatan arvo solmuissa lasketaan toisen derivaatan jatkuvuuden ehdon perusteella (ratkaisemalla n lineaarisesta yhtälöstä koostuva järjestelmä), niin spliinillä on kaksi jatkuvaa derivaataa. Tätä splainin muodostamismenetelmää, kuten itse splainia, kutsutaan globaaliksi , koska määritettäessä jokaista sen kerrointa otetaan huomioon koko interpolointisolmujen joukko.

Muissa tapauksissa yhden kertoimen määrittämiseksi vain lähimmät interpolaatiosolmut otetaan huomioon, ja tällaisia ​​rakennusmenetelmiä, kuten itse splaineja, kutsutaan paikallisiksi . Tällaisen spliinin fragmentin parametrit voidaan määrittää muista fragmenteista riippumatta.

Yksinkertainen ehto paikallisen splinin fragmentin rakentamiselle on ehto, että segmenttien päissä oleva polynomi on yhtä suuri kuin interpoloidun funktion vastaavat arvot.

Yksinkertaisimmille splineille - katkoviivalle - tämä ehto riittää. Suoran kaksi kerrointa määritetään yksiselitteisesti kahdesta yhtälöstä. Tällainen splaini on paikallinen. Korkeamman asteen polynomeille tulee lisätä lisäehtoja, jotta yhtälöiden kokonaismäärä on yhtä suuri kuin polynomin kertoimien lukumäärä. Joten 3. asteen splainille tällainen ehto on segmentin päissä olevan 1. derivaatan yhtäläisyys tiettyyn arvoon, joka määritetään viereisille osille samalla tavalla (kaavoissa (2) likimääräisen funktion derivaatan arvo).

4 yhtälön järjestelmä

voit määrittää yksiselitteisesti polynomin neljä kerrointa. 5. asteen polynomille tulee lisätä ehto 2. derivaatan yhtäläisyydestä segmentin päissä jne. Sanon perusteella pitäisi olla selvää, miksi splainit rakennetaan pääasiassa parittoman asteen polynomeista (jossa parillinen määrä kertoimia).

Parillisten asteiden polynomeille järjestelmää koottaessa (3):

siksi 2. asteen polynomille on mahdotonta saavuttaa 1. derivaatan yhtäläisyyttä risteyspisteissä ja 4. asteen kohdalla 2. derivaatta jne. Parillisten asteiden splinien muodostamiseksi lisätään keinotekoisesti lisäehtoja muodostaa yhtälöjärjestelmä, joka on samanlainen kuin (3). Jos spliinipolynomin derivaatat määritellään samalla tavalla kuin interpoloidun funktion vastaavat derivaatat, spliinin sanotaan olevan hermiittinen .

On olemassa paikallisia menetelmiä Bessel- ja Akimi-splinejen rakentamiseen, B ovat splinejä [] . Pohjimmiltaan, kun on kyse splineistä, ne tarkoittavat splineitä, jotka on rakennettu algebrallisista polynomeista. Nämä ovat edellä annetut määritelmät. Nämä splainit ovat eniten tutkittuja. Splaini voi kuitenkin koostua minkä tahansa luokan funktioiden fragmenteista. AT [] tällaisten splainien rakentamista harkitaan ja niiden ominaisuuksia tutkitaan. Tekijä[ kuka? ] ei anna yleistä määritelmää konstruoiduille splineille. Ilmeisesti kaikille splainin muodostaville funktioluokille artikkelin alussa annettu määritelmä ei ole täysin sopiva. Esimerkiksi, jos spline koostuu eksponentin segmenteistä, spliinivirheen käsite menettää merkityksensä. Vaikka jatkuvien johdannaisten lukumäärä säilyy tärkeänä ominaisuutena. Sellaisen splainin rakentaminen, jonka fragmentit ovat epäjatkuvia funktioita (rationaalifunktiot, Padé-funktiot), on jokseenkin spline-idean ulkopuolella, koska yksi splainien tärkeimmistä eduista on niiden sileys. Jos tällaisia ​​rakenteita laajennetaan mielivaltaisesti, splainien ja lumpyfunktioiden väliset erot poistetaan. Toinen splainien etu on laskennallinen tehokkuus. Fragmenttien liiallinen monimutkaisuus vähentää merkittävästi splainien etua klassisiin funktioihin verrattuna.

Splineille on tunnusomaista seuraavat ominaisuudet: spliini koostuu fragmenteista - saman luokan toiminnoista, jotka eroavat vain parametreistaan, tietyt ehdot asetetaan vierekkäisille fragmenteille risteyspisteissä, jotka pelkistyvät arvojen jatkuvuuteen ja joitakin ensimmäisiä johdannaisia. Splainit ovat soveltavan matematiikan haara, joka kehittyy intensiivisesti. Internet sisältää laajan bibliografian splineistä ( Spline -bibliografiatietokanta (SBD) ).

Spline-luokitus

Kuten edellä todettiin, on olemassa suuri määrä rakenteita, joita kutsutaan splineiksi. Siksi on tarpeen ottaa käyttöön tietty luokitus tähän lajikkeeseen, jotta voidaan korostaa niitä ominaisuuksia, joiden avulla voit valita splainit, jotka sopivat tiettyyn sovellettavaan ongelmaan.

Splainien antaminen . Tarkoituksen mukaan voidaan erottaa kolme pääryhmää splineitä: "interpolaatiospliinit" tai "toiminnalliset splinet" - kulkevat tarkalleen annettujen pisteiden läpi, "tasoitusspliinit" - kulkevat tiettyjen pisteiden läpi, ottaen huomioon niiden määrittämisessä olevat virheet; "korrelaatiosplinet" - kulkee korrelaatiopistejoukon läpi ja näyttää sen yleisen riippuvuuden (trendi, regressio). Interpolaatiota ja funktionaalisia splaineja käytetään geometrisissa mallinnustehtävissä, esimerkiksi vesi- ja lentokoneiden runkojen ääriviivojen asettamisessa. Tasoitussplaineja käytetään useimmiten kuvaamaan fysikaalisten kokeiden riippuvuuksia tunnetulla mittausvirheellä. Epälineaarisina regressiograafina käytetään korrelaatiosplaineja, joista yksinkertaisinta voidaan pitää riippuvuuden kuvauksena askel- ja paloittain lineaarifunktiona (nolla- ja ensimmäisen asteen splainit).

Näkymä spline-fragmenteista . Se, että spline koostuu samantyyppisistä fragmenteista, on yksi tärkeimmistä piirteistä, joka erottaa sen muista palafunktioista. On kuitenkin olemassa yhdistettyjä splaineja, jotka koostuvat eri splainien fragmenteista.

Tunnetuimmat - fragmenteista koostuvat - splainit ovat algebrallisia polynomeja, jotka eivät ole korkeampia kuin tietty aste. Yleensä nämä ovat kuutiopolynomeja tai parittomien asteiden polynomeja: ensimmäinen, kolmas (kuutio), viides aste. Korkeampia tutkintoja käytetään harvoin johtuen laskelmien monimutkaisuudesta ja edellisessä osiossa kuvatuista monimutkaisuudesta. Niiden tärkein etu on laskelmien ja analyysien yksinkertaisuus. Haittana on, että suhteellisen harvat todelliset fysikaaliset prosessit vastaavat tätä riippuvuutta.

Eksponentiaaliset splainit. Jos solmuihin kiinnitettyä joustavaa metalliviivainta venytetään, niin differentiaaliyhtälön ratkaisu ei ole algebrallinen polynomi, vaan eksponentiaalinen . Siksi tällaisia ​​splaineja kutsutaan myös jännitteiksi . Eksponentti kuvaa monia fyysisiä prosesseja dynaamisissa järjestelmissä. Haittana on laskennan monimutkaisuus.

Mekaanisella analogialla metalliviivaimen kanssa, joka on palkin suunnittelumalli, saadaan vaihtelevan jäykkyyden omaavat rihlaukset, jotka on kuvattu Snigirev V.F.:n ja Pavlenko A.P.:n teoksissa. Aluksi tällaisia ​​rihmoja kutsuttiin rappeutuneiksi tai logaritmisiksi, koska alkuperäisen ratkaisun ratkaisu. spline-differentiaaliyhtälö, joka on spline-fragmentti, sisältää luonnollisia logaritmisia funktioita. Niiden jäykkyys voi toimia painona, jos se on ennalta määrätty, ja ohjausfunktiona, joka löydetään ehdoista alkuperäisen spline-yhtälön operaattorin energiafunktionaalin minimiin, joka on samanlainen kuin kokonaispotentiaali viivaimen (palkin) jännitysenergia. Jäykkyystoiminnon avulla voit hallita uurteen muotoa. Siinä tapauksessa, että jäykkyysfunktio on ohjausfunktio, tällaisia ​​rihmia kutsutaan minimijäykkyyden riisteiksi.

Trigonometriset ovat splineitä, joiden fragmentteja kuvataan trigonometrisilla polynomeilla . Niissä on melko monimutkaisia ​​laskentalausekkeita. B. A. Popovin teoksissa kuvataan yli viisikymmentä erityyppistä spline-fragmenttia.

On myös rationaalisia splaineja ja Padé-splaineja. Niiden ominaisuus on mahdollisuus katkaista johdannaiset fragmenteista, joilla on jatkuvuus solmuissa. M. Ansermet rakentaa murtosplineja, joissa fragmentit määritellään gammafunktiolla.

Tietyn tyyppisten fragmenttien käytön tarkoituksenmukaisuus perustuu ongelman erityisolosuhteisiin ja toteutusrajoituksiin. Pääsääntöisesti tärkein vaatimus on saavuttaa tietty interpoloinnin tarkkuus hyväksyttävällä aika- ja resurssilla toteuttamiseen. Hyvä, prosessin luonnetta vastaava fragmenttivalikoima vähentää laskenta-aikaa ja tarvittavaa muistin määrää.

Fragmenttien lukumäärä . Ilmeisesti fragmenttien vähimmäismäärä on yksi. Klassinen splinin määritelmä rajoittaa fragmenttien lukumäärän tiettyyn määrään äärellisessä segmentissä. Voit kuitenkin rakentaa splaineja äärettömällä määrällä fragmentteja, mutta todellisuudessa nämä menetelmät ja algoritmit, jotka eivät tarvitse tietoa tietystä määrästä fragmentteja[ mitä? ] . Näiden splainien edustajat ovat Schoenbergin tutkimat kardinaalit . Rajattomalla määrällä fragmentteja sisältävien splainien rakentamiseen paikalliset splainit sopivat paremmin.

Fragmentin leveys . On tarpeen valita splainit, joiden fragmenttien leveys on yhtä suuri. Näin voit yksinkertaistaa merkittävästi laskentalausekkeita, nopeuttaa algoritmien toimintaa ja vähentää toteutuskustannuksia. Tietty yksinkertaistus voidaan saavuttaa käyttämällä useita leveitä fragmentteja. On splaineja, joiden leveys on nolla (De Boer). Tämä johtaa solmujen moninaisuuteen ja mahdollisuuteen approksimoida splaineja epäjatkuvien funktioiden erottamattomilla fragmenteilla. Laskentalausekkeet saadaan rajasiirtymien tuloksena. Splineissä voi olla myös äärettömän leveitä fragmentteja. Näiden fragmenttien tulee olla äärimmäisiä. Joskus tämä mahdollistaa rajaehtojen luonnollisen asettamisen. Tarkkaan ottaen fragmenttien leveys riippuu parametrin valinnasta - spline-funktion argumentista, ja tämä vaatii erillisen parametrointiongelman ratkaisemisen. Ihanteellinen valinta parametriksi on interpoloidun funktion pituus, jota ei aina tiedetä, joten tämän ongelman ratkaisemiseksi on monia tapoja. Yleisin parametrisointimenetelmä on sointujen avulla.

Fragmenttien liittämisen ehdot . Toinen tärkeä ominaisuus, joka erottaa splainit. Mitä tulee splineihin, fragmenttien katsotaan yleensä liitetyiksi tasaisesti. Eli arvojen ja ensimmäisen derivaatan jatkuvuus varmistetaan. Spline-virheen käsite liittyy jatkuvien derivaattojen määrään, joka tietyn tyyppisellä fragmenttifunktiolla on, ja niiden derivaattojen määrään, joiden jatkuvuus solmuissa on taattu. Eksponentilla , siniaalisella on ääretön määrä derivaattoja. Heille tämä käsite ei ole järkevä. Siksi on kätevämpää puhua suoraan niiden johdannaisten lukumäärästä, joiden jatkuvuus on taattu splainin solmuissa. Käytännössä puhumme arvojen jatkuvuudesta ja ensimmäisestä, maksimi - toisesta derivaatta. Ero toisen ja korkeamman derivaatan välillä ei ole visuaalisesti havaittavissa, joten se otetaan harvoin huomioon. On selvää, että ensimmäinen derivaatta risteyspisteissä voidaan määrittää eri tavoin. Yleisimmät ovat kaksi lähestymistapaa. Ensimmäisen derivaatan arvo valitaan siten, että varmistetaan toisen jatkuvuus (minimivirheen globaalit kuutiosplinet). Ensimmäinen derivaatta on yhtä suuri kuin interpoloidun funktion ensimmäinen derivaatta (mahdollisesti likimääräisesti) hermiittisissä splineissä.

Rajaehdot . Klassisia rajaehtoja on 4 tyyppiä ja joukko ei-klassisia. Jos splaineilla on rajoitettu määrä fragmentteja, niin luonnollisesti niissä ei ole äärimmäisiä fragmentteja vasemmalla ja oikealla, joten äärimmäisiä solmuja ei ole mihinkään liittää. Ainoat poikkeukset ovat jaksolliset splainit, joilla on luonnollinen jatke (kolmas tyyppi klassiset reunaehdot). Joskus rajaehtoja, joissa on nolladerivaata, kutsutaan luonnollisiksi, vaikka ei ole mitään syytä pitää niitä luonnollisempina kuin muita, mutta kuutiosplainille luonnolliset (luonnolliset) rajaehdot ovat klassisten rajaehtojen 2. tyypin erikoistapaus, joka määrittelee toiset derivaatat splainin reunoilla. Tässä tapauksessa toisten derivaatan nollaksi kohdistaminen vapauttaa metalliviivaimen reunat kuormitukselta taivutusmomentilla, joka luonnollisesti tapahtuisi, kun sitä kohdistetaan kiinteisiin (annettuihin) solmuihin fyysisessä tilassa. Klassisten reunaehtojen 1. tyypissä ensimmäiset derivaatat (tangentiaalit) asetetaan splinin reunoihin; 2. tyypissä - aseta toiset derivaatat (kaarevuus); 3. tyyppiä käytetään suljettujen tai jaksollisten juovien interpoloimiseen ja se koostuu splinin äärimmäisten fragmenttien yhdistämisestä; Neljättä tyyppiä käytetään, kun ensimmäistä tai toista derivaatta ei tunneta splinin reunoilla, ja se koostuu vierekkäisten äärimmäisten fragmenttien parien (1. - 2. ja viimeinen - toiseksi viimeistä) yhdistämisestä kolmansilla derivaatoilla , joka on käytännössä toteutettu vierekkäisten äärimmäisten fragmenttien parien solmujen läpi kulkemisessa funktion, joka on samanlainen kuin yksi splinin fragmentti (polynomi-splainille samanasteinen polynomi kuin splinin fragmentti). Käytetään erilaisia ​​rajaehtojen yhdistelmiä, jotka on pelkistetty näihin neljään klassiseen ehtotyyppiin. Jos rajaehtoja ei voida pelkistää näihin neljään tyyppiin, kuten esimerkiksi muutos sen kolmannen derivaatan spliinin vierekkäisten äärimmäisten fragmenttien parissa lineaarisen (affiinin) lain mukaisesti, ehdotettu Snigirevin V. F. , silloin tällaisia ​​ehtoja kutsutaan reunaehtojen ei-klassisiksi versioiksi. Alla on joitain muunnelmia, jotka pelkistyvät klassisiin rajaehtoihin. Jos splainissa on samanleveisiä fragmentteja, puuttuvat samanleveät fragmentit lasketaan. Toinen vaihtoehto on harkita puuttuvien fragmenttien laajentamista äärettömyyteen. Tämän lähestymistavan etuna on ekstrapoloinnin mahdollisuus . Voit katsoa fragmenttien leveyden olevan nolla. Lasketut lausekkeet saadaan rajasiirtymillä. Jos tarkastellaan reunaehtoja kantafunktioista splainin muodostuksen näkökulmasta, niin ne pelkistetään vastaavien paikallisten kantafunktioiden jatkoksi. Viereisten fragmenttien leveys vaikuttaa niiden muotoon. Yksinkertainen leikkaus johtaa usein värähtelyyn ja virheen lisääntymiseen reunoissa. Rajaehdot ovat tärkeitä kuvankäsittelyssä ja ekstrapolointiongelmissa.

Lisärajoituksia . Ne koskevat useimmiten solmujen johdannaisia. Joskus ne johtuvat prosessin fysiikasta. Edellytykset: arvojen luovuttamattomuus, hetkien tasa-arvo, alueet, normalisointiehdot. Lisäehdot yksinkertaistavat joskus spline-ominaisuuksien analysointia, mutta voivat vaikeuttaa vakavasti rakennus- ja toteutuskustannuksia.

Interpolaatiopisteiden ruudukko. Voi vaikuttaa merkittävästi laskelmien tehokkuuteen. Tasaisen ruudukon ja tasaisen ruudukon tapaukset, joissa pisteiden välinen etäisyys on moninkertainen splainin solmujen välisen etäisyyden kanssa, ovat tärkeitä. Interpolointipisteiden (interpolointisolmujen) ruudukon löytäminen on parametrointitehtävä, jota on jo käsitelty Fragmentin leveys -osiossa.

Kantafunktioiden paikalliset ominaisuudet . Spline voidaan esittää painotettujen perusspliinien summana. Näiden perusfunktioiden leveys on olennainen. Joten globaaleissa splineissä perusspliinit eivät ole nollia koko interpolointisegmentissä. Vaikka on syytä huomata, että tietyllä tarkkuudella (riittävä moniin teknisiin laskelmiin) niitä voidaan pitää paikallisina. Paikallisilla splaineilla kantafunktioiden leveys on pieni (neljä fragmenttia kuutiomaisille Hermitian splineille). Tämä vaikuttaa merkittävästi laskelmien tehokkuuteen ja toteutuskustannuksiin.

Esittelylomake . Funktiot, jotka määrittävät splinin fragmentteja, riippuvat pääsääntöisesti monista parametreista, joiden vuoksi ne muuttavat muotoaan. Jokaisen fragmentin parametriarvot ovat yksilöllisiä. Nämä parametrit voivat määrittää tietyn splainin. Polynomisplineille nämä ovat polynomikertoimet. Joten spline voidaan esittää funktioparametrijoukolla jokaisessa fragmentissa. Kutsutaan tätä esitystä fragmenttikohtaiseksi. Tällainen esitys on havainnollistava ja sillä on usein selkeä fyysinen merkitys. Mutta parametrien määrä on liian suuri. Joten kuutiosplineä varten sinulla on oltava 4 * (r-1) parametria ( r  on spline-solmujen lukumäärä). Tämä esitys saadaan alkuperäisen spline-differentiaaliyhtälön fragmentin epämääräisen integroinnin tuloksena, ja sitä kutsutaan analogiseksi palakohtaiseksi polynomimuodoksi (pp-muoto) analogisesti polynomispliinien kanssa. Kerrointen ilmaisemiseksi eksplisiittisesti solmupisteiden koordinaattien jo tunnetuilla arvoilla käytetään samanlaisen palakohtaisen polynomimuodon hajottamista perusfunktioihin korvaamalla se Hermite-rajaehtoihin (spliinifragmentin rajaehtoihin). , interpoloinnin ehdot ja johdannaisiin luottaminen). Tuloksena on splinen perusmuoto (B-muoto). Tämä splainin esitys on paljon kompaktimpi ja se voidaan kirjoittaa spline-perusfunktioilla muodossa:

,

missä  ovat perusspliinifunktiot (yleensä paikalliset),  ovat numeerisia kertoimia, jotka määrittävät perusfunktioiden painon splinin muodostuksessa, joiden fyysinen merkitys on metalliviivaimen yleistetyt (lineaariset ja kulmaiset) siirtymät solmuissa . Splainin määrittävien parametrien lukumäärä on yhtä suuri kuin spline-solmujen lukumäärä. Fragmentin funktion parametrien ja polynomi-splinen kertoimien välillä on suhde, mikä mahdollistaa muiden joidenkin kertoimien löytämisen, vaikka kaavat voivat olla melko monimutkaisia.

Spline-esityksen samanlaisen paloittainen polynomimuodon muuntaminen perusmuotoon vähentää lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän järjestystä tuntemattomien spline-kertoimien löytämiseksi, koska ne ilmaistaan ​​osittain jo tunnetuilla parametreilla - annettujen pisteiden koordinaatteilla ( solmut), mikä voi vähentää merkittävästi laskentakustannuksia johtuen kyvystä soveltaa taloudellisia ratkaisumenetelmiä, kuten algebrallista pyyhkäisymenetelmää tai Gaussin menetelmän muunnelmia harvoille (nauha)matriiseille valitsemalla sarakkeen johtavan elementin.

Spline-kertoimien sisältö . Kuten edellisessä kappaleessa todettiin, fragmenttiesityksen spline-parametrien sisältö määräytyy funktiotyypin mukaan. Polynomisessa esityksessä tulee erottaa tapaus, jossa kertoimilla on sama fyysinen merkitys kuin syöttödatalla. Eli kertoimet ovat splinen arvoja solmuissa. Tätä muotoa kutsutaan Lagrangeksi analogisesti Lagrangen polynomin kanssa. On huomattava, että tämän muodon perusspliinit ovat yhtä suuria kuin yksi keskisolmussa ja nolla kaikissa muissa.

Interpolaatiokertoimet ja funktionaaliset splainit sisältävät aina annettujen pisteiden koordinaattien arvot, jotka seuraavat interpolointiehdoista. Ja myös, riippuen johdannaisiin luottamisesta, ne sisältävät vastaavien johdannaisten arvot spline-fragmentin rajoilla (solmupisteissä). Yleensä tällaisia ​​ehtoja kirjoitettaessa spline-fragmentti sen rajoilla perustuu ensimmäiseen tai toiseen derivaattaan. Splinifragmentin kallistuminen ensimmäisiin derivaattaisiin heijastaa selvästi fyysistä merkitystä, koska ensimmäiset derivaatat (tangentiaaliset) ovat metalliviivaimen kulmasiirtymiä (kiertoja) suhteessa poikkiakseliin. Splinin toisiin derivaattaisiin luottamista käytetään yksinkertaistamaan laskentalausekkeiden muotoa virheiden vähentämiseksi, kun niitä kirjoitetaan manuaalisesti, mutta joissain tapauksissa tällaisten lausekkeiden käyttö lisäehdoissa voi johtaa triviaaleihin ratkaisuihin.

Erityiset splainit . Joissakin tapauksissa huomioidaan funktiot, jotka ovat lähellä splainien ja tavallisten funktioiden välistä rajaa, samoin kuin splaineja ja lumpyfunktioita. Nämä ovat esimerkiksi splaineja, jotka koostuvat kahdesta fragmentista. Niissä on yksinkertaistettu versio rakenteesta, mutta erityistä huomiota tulee kiinnittää reunaehtoihin.

Erikoisspliinit sisältävät moniulotteisen ortogonaalisen normalisoidun spliinin, joka kuvaa keinotekoisen neuronin epälineaarista mallia (Khakimovin spline-malli). käytetään mallintamaan funktion riippuvuutta useiden argumenttien joukosta.

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ Piirtäjän spline . Haettu 18. huhtikuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 30. marraskuuta 2009.

Kirjallisuus

Linkit