Viisikulmainen monitahoinen

Viisikulmainen polytooppi  on säännöllinen polytooppi n - ulotteisessa avaruudessa , joka on muodostettu Coxeterin ryhmästä H n . Perheen nimesi Harold Coxeter , koska kaksiulotteinen viisikulmainen monitahoinen on viisikulmio . Schläfli-symbolista riippuen sitä voidaan kutsua dodekaedriksi ({5, 3 n − 2 }) tai ikosaedriksi ({3 n − 2 , 5}).

Perheenjäsenet

Perhe alkaa yksiulotteisella polyhedralla (segmentti, n = 1) ja päättyy 4-ulotteisen hyperbolisen pallon äärettömään laatoittamiseen, jossa n = 5.

Viisikulmaisia ​​polyhedraja on kahta tyyppiä. Yhtä tyyppiä voidaan kutsua dodekaedriksi polyhedraksi ja toista ikosaedriksi sen kolmiulotteisista osista riippuen. Nämä kaksi tyyppiä ovat toistensa kaksijakoisia.

Dodecahedral polyhedra

Dodekaedristen polyhedrien täydellinen perhe koostuu:

1. Segmentti , { }
2. Pentagon , {5}
3. Dodekaedri , {5, 3} (12 viisikulmaista pintaa)
4. Satakaksikymmentäsivuinen , {5, 3, 3} (120 dodekaedrisolua )
5. 120-soluiset hunajakennot luokkaa 3 , {5, 3, 3, 3} - laatoittaa hyperbolisen 4-ulotteisen avaruuden

Minkä tahansa dodekaedrisen monitahoisen fasetit ovat dodekaedrisia viisikulmaisia ​​monitahoja, joiden ulottuvuus on yksi pienempi. Niiden huippukuviot ovat yhden ulottuvuuden yksinkertaisia.

n	Coxeter-ryhmä	Petri-polygoni (projektio)	Nimi Coxeter-kaavio Schläfli-symboli	puolia	Elementit
					Huiput	kylkiluut	Fasetit	Solut	4 - kasvot
yksi	[ ] (järjestys 2)		Jana {}	2 huippua	2
2	[5] (järjestys 10)		Pentagon {5}	5 kylkiluuta	5	5
3	[5,3] (tilaus 120)		Dodekaedri {5, 3}	12 viisikulmiota	kaksikymmentä	kolmekymmentä	12
neljä	[5,3,3] (tilaus 14400)		120 solua {5, 3, 3}	120 dodekaedria	600	1200	720	120
5	[5,3,3,3] (järjestys ∞)		120 solun hunajakenno {5, 3, 3, 3}	∞ 120 solua	∞	∞	∞	∞	∞

Icosahedral polyhedra

Täydellinen ikosaedristen viisikulmaisten polyhedrien perhe koostuu:

1. Segmentti , { }
2. Pentagon , {5}
3. Ikosaedri , {3, 5} (20 kolmion muotoista pintaa)
4. Kuusisataa solua , {3, 3, 5} (120 tetraedristä solua)
5. Viidennen kertaluvun viisisoluiset hunajakennot , {3, 3, 3, 5} - hyperbolisen 4-ulotteisen avaruuden laatoitus (∞ viiden solun fasetit)

Minkä tahansa ikosaedrisen viisikulmaisen monitahoisen fasetit ovat yhden ulottuvuuden yksinkertaisia. Polyhedrien kärkihahmot ovat ikosaedrisia viisikulmaisia ​​monitahoja, joiden ulottuvuus on pienempi.

n	Coxeter-ryhmä	Petri-polygoni (projektio)	Nimi Coxeter-kaavio Schläfli-symboli	puolia	Elementit
					Huiput	kylkiluut	Fasetit	Solut	4 - kasvot
yksi	[ ] (järjestys 2)		Jana {}	2 huippua	2
2	[5] (järjestys 10)		Pentagon {5}	5 kylkiluuta	5	5
3	[5,3] (tilaus 120)		ikosaedri {3, 5}	20 säännöllistä kolmiota	12	kolmekymmentä	kaksikymmentä
neljä	[5,3,3] (tilaus 14400)		Kuusisataa solua {3, 3, 5}	600 tetraedria	120	720	1200	600
5	[5,3,3,3] (järjestys ∞)		Viidennen luokan viisisoluiset hunajakennot {3, 3, 3, 5}	∞ Viisisoluinen	∞	∞	∞	∞	∞

Aiheeseen liittyvät tähtikuvioiset polyhedrat ja hunajakennot

Viisikulmaisista monitahoista voidaan muodostaa tähtimuotoja uusien tähtimuotoisten säännöllisten monitahojen saamiseksi :

• Kolmiulotteisessa avaruudessa saadaan neljä Kepler-Poinsot-polyhedraa  - { 3.5/2 }, { 5/2.3 }, { 5.5/2 } ja { 5/2.5 }.
• Neliulotteisessa avaruudessa saadaan kymmenen Schläfli-Hess-polyhedraa : {3,5,5/2} ,{ {5/2,5,3} , {5,5/2,5} , {5,3,5/2} , {5/2,3,5} , {5/2,5,5/2} , {5,5/ 2,3} , {3,5/2,5} , {3,3,5/2} ja {5/2,3,3} .
• Neliulotteisessa hyperbolisessa avaruudessa on neljä säännöllistä hunajakennoa : {5/2,5,3,3} , {3,3,5,5/2} , {3,5,5/ 2,5 } ja {5,5/2,5,3} .

Muistiinpanot

Kirjallisuus

• HSM Coxeter . Kaleidoskoopit: Valitut HSM Coxeterin kirjoitukset / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience -julkaisu, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
  • (paperi 10) HSM Coxeter, tähtipolytoopit ja Schlafli-funktio f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25-36]
• HSM Coxeter . Tavalliset polytoopit . - 3. (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - S.  292-293 . — ISBN 0-486-61480-8 .