Tetrahedron

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 5. joulukuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 36 muokkausta .

Tetrahedroni ( muinainen kreikka τετρά-εδρον " Tetrahedron " [1] ← τέσᾰρες / τέσερες / τέττᾰρες / τέττορες / τέτορες " 4 + ἕδρα " SEAT "), SILMÄT TRILIO " .

Tetraedri on kolmion muotoinen pyramidi , kun mikä tahansa pinnasta otetaan pohjana. Tetraedrillä on 4 pintaa, 4 kärkeä ja 6 reunaa. Tetraedria, jonka kaikki pinnat ovat tasasivuisia kolmioita , kutsutaan säännölliseksi. Säännöllinen tetraedri on yksi viidestä säännöllisestä polyhedrasta .

Ominaisuudet

Yhdensuuntaiset tasot, jotka kulkevat kolmen tetraedrin risteävien reunojen parin läpi, määrittävät tetraedrin lähellä kuvatun suuntaissärmiön .

Tetraedrin kahden risteävän reunan keskipisteen läpi kulkeva taso jakaa sen kahteen tilavuudeltaan yhtä suureen osaan [3] :216-217 .

Tetraedrin bimediaanit leikkaavat samassa pisteessä kuin tetraedrin mediaanit.
- Tetraedrin bimediaanit ovat segmenttejä, jotka yhdistävät sen risteävien reunojen (joilla ei ole yhteisiä pisteitä) keskipisteet.

Kolmen kärjen ja keskipisteen läpi kulkevien pallojen keskipisteet sijaitsevat pallolla, jonka keskipiste on sama kuin rajatun pallon keskipiste.
- Tämä väite pätee myös ulkoisiin kannustimiin.

Tasot, jotka kulkevat reunan keskeltä ja ovat kohtisuorassa vastakkaiseen reunaan nähden, leikkaavat yhdessä pisteessä (ortosentri).
- Ortosentti simplexissä määritellään hypertasojen leikkauspisteeksi, jotka ovat kohtisuorassa reunaan nähden ja kulkevat vastakkaisen elementin painopisteen kautta.

Pallon keskipiste (F), joka kulkee tetraedrin pintojen painopisteiden, tetraedrin painopisteen (M), rajatun pallon keskipisteen (R) ja ortokeskipisteen (H) kautta, ovat samalla suoralla linjalla. Samaan aikaan . $RM=MH=3\cdot MF$

Komplementaariseen tetraedriin kirjoitetun pallon (S) keskipiste, antikomplementaariseen tetraedriin kirjoitetun pallon (N), tetraedrin painopiste (M) ja piirretyn pallon (I) keskipiste sijaitsevat sama suora viiva.

Olkoon piste G 1 jakaa ortokeskiön (H) ja kärjen 1 yhdistävän janan suhteessa 1:2. Pudotetaan kohtisuora pisteestä G 1 vastakkaisen kärjen 1 pintaan. Pystysuora leikkaa pinnan pisteessä W 1 . Pisteet G 1 ja W 1 sijaitsevat pallolla (Feuerbachin pallo), joka kulkee tetraedrin pintojen painopisteiden läpi.

Tetraedrin neljän reunan keskipisteiden kautta kulkevan tason leikkaus on suunnikkaampi.

Tetraedrien tyypit

Isoedrinen tetraedri

Kaikki sen pinnat ovat kolmioita, jotka ovat yhtä suuret toistensa kanssa. Isoedrisen tetraedrin kehitys on kolmio, joka on jaettu kolmella keskiviivalla neljään yhtä suureen kolmioon . Isoedrisessä tetraedrissä korkeuksien kannat, korkeuksien keskipisteet ja pintojen korkeuksien leikkauspisteet sijaitsevat yhden pallon pinnalla (12 pisteen pallo) ( Eulerin ympyrän analogi kolmio ).

Isoedrisen tetraedrin ominaisuudet:

Kaikki sen kasvot ovat yhtäläiset (yhtenevät).
Ristikkäiset reunat ovat yhtä suuret pareittain.
Kolmikulmaiset kulmat ovat yhtä suuret.
Vastakkaiset dihedraaliset kulmat ovat yhtä suuret.
Kaksi samaan reunaan perustuvaa tasokulmaa ovat yhtä suuret.
Tasokulmien summa kussakin kärjessä on 180°.
Tetraedrin kehitys on kolmio tai suuntaviiva .
Kuvattu suuntaissärmiö on suorakaiteen muotoinen.
Tetraedrillä on kolme symmetria-akselia.
Vinoreunojen yhteiset kohtisuorat ovat pareittain kohtisuorat.
Mediaaniviivat ovat pareittain kohtisuorassa.
Kasvojen ympärysmitat ovat yhtä suuret.
Kasvojen pinta-alat ovat yhtä suuret.
Tetraedrin korkeudet ovat yhtä suuret.
Segmentit, jotka yhdistävät kärjet vastakkaisten pintojen painopisteisiin, ovat yhtä suuret.
Pintojen lähellä kuvattujen ympyröiden säteet ovat yhtä suuret.
Tetraedrin painopiste on sama kuin rajatun pallon keskipiste.
Painopiste on sama kuin piirretyn pallon keskipiste.
Piirretyn pallon keskipiste on sama kuin piirretyn pallon keskipiste.
Kaiverrettu pallo koskettaa kasvoja näiden pintojen ympärille rajattujen ympyröiden keskipisteissä.
Ulompien yksikkönormaalien (pintoja vastaan kohtisuorassa olevat yksikkövektorit) summa on nolla.
Kaikkien dihedraalisten kulmien summa on nolla.
Rajattujen pallojen keskipisteet sijaitsevat rajatulla pallolla.

Ortosentrinen tetraedri

Kaikki kärjestä vastakkaisiin pintoihin pudotetut korkeudet leikkaavat yhdessä pisteessä.

Tetraedrin korkeudet leikkaavat yhdessä pisteessä.
Tetraedrin korkeuksien kannat ovat kasvojen ortokeskipisteet.
Jokainen tetraedrin kaksi vastakkaista reunaa ovat kohtisuorassa.
Tetraedrin vastakkaisten reunojen neliöiden summat ovat yhtä suuret.
Tetraedrin vastakkaisten reunojen keskipisteet yhdistävät segmentit ovat yhtä suuret.
Vastakkaisten dihedraalisten kulmien kosinien tulot ovat yhtä suuret.
Pintojen pinta-alojen neliöiden summa on neljä kertaa pienempi kuin vastakkaisten reunojen tulojen neliöiden summa.
Ortosentrinen ympyrätetraedrin jokaisessa pinnassa on 9 pistettä ( Euler-ympyrät ), jotka kuuluvat samaan palloon (24-pisteinen pallo).
Ortosentrisessä tetraedrissä painopisteet ja pintojen korkeuksien leikkauspisteet sekä pisteet, jotka jakavat tetraedrin kunkin korkeuden segmentit kärjestä korkeuksien leikkauspisteeseen suhteessa 2 :1, makaa samalla pallolla (12 pisteen pallo).

Suorakulmainen tetraedri

Kaikki yhden kärjen vieressä olevat reunat ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. Suorakaiteen muotoinen tetraedri saadaan katkaisemalla suorakaiteen muotoisesta suuntaissärmiöstä tasainen tetraedri .

Skeleton tetrahedron

Se on tetraedri, joka täyttää jonkin seuraavista ehdoista [4] :

siellä on pallo, joka koskettaa kaikkia reunoja,
risteävien reunojen pituuksien summat ovat yhtä suuret,
vastakkaisten reunojen dihedraalisten kulmien summat ovat yhtä suuret,
kasvoihin kirjoitetut ympyrät koskettavat pareittain,
kaikki tetraedrin kehittymisestä johtuvat nelikulmiot on rajattu,
niihin piirrettyjen ympyröiden keskipisteistä kasvoille kootetut kohtisuorat leikkaavat yhdessä pisteessä.

Suhteellinen tetraedri

Tällä tyypillä on yhtä suuri kaksikorkeus .

Suhteellisen tetraedrin ominaisuudet:

Bi-korkeudet ovat yhtä suuret. Tetraedrin bikorkeudet ovat yhteisiä kohtisuorat sen kahteen leikkaavaan reunaan (reunat, joilla ei ole yhteisiä kärkiä).
Tetraedrin projektio tasolle, joka on kohtisuorassa mihin tahansa bimediaaniin nähden, on rombi . Tetraedrin bimediaanit ovat segmenttejä, jotka yhdistävät sen risteävien reunojen (joilla ei ole yhteisiä pisteitä) keskipisteet.
Piirretyn suuntaissärmiön pinnat ovat yhtä suuret.
Seuraavat suhteet ovat voimassa: , missä ja , ja , ja ovat vastakkaisten reunojen pituuksia. $4a^{2}{a_{1}}^{2}-(b^{2}+{b_{1}}^{2}-c^{2}-{c_{1}}^{2} )^{2}=4b^{2}{b_{1}}^{2}-(c^{2}+{c_{1}}^{2}-a^{2}-{a_{1 }}^{2})^{2}=4c^{2}{c_{1}}^{2}-(a^{2}+{a_{1}}^{2}-b^{2 }-(b_{1})^{2})^{2}$ $a$ $a_{1}$ $b$ $b_{1}$ $c$ $c_{1}$
Jokaisen tetraedrin vastakkaisen reunan parin kohdalla yhden läpi vedetyt tasot ja toisen keskipiste ovat kohtisuorassa.
Pallo voidaan kirjoittaa kuvattuun suhteellisen tetraedrin suuntaissärmiöön.

Insentrinen tetraedri

Tässä tyypissä segmentit, jotka yhdistävät tetraedrin kärjet vastakkaisille pinnoille piirrettyjen ympyröiden keskipisteisiin, leikkaavat yhdessä pisteessä. Insentrinen tetraedrin ominaisuudet:

Segmentit, jotka yhdistävät tetraedrin pintojen painopisteitä vastakkaisiin pisteisiin (tetraedrin mediaanit) leikkaavat aina yhdessä pisteessä. Tämä piste on tetraedrin painopiste.
huomautus . Jos viimeisessä tilanteessa korvaamme kasvojen painopisteet kasvojen ortokeskeillä , niin siitä tulee uusi ortosentrinen tetraedrin määritelmä . Jos korvaamme ne pinnoille kirjoitetuilla ympyröiden keskuksilla, joita joskus kutsutaan incenteriksi , saamme määritelmän uudesta tetraedri- insentrisen luokan joukosta .
Janat, jotka yhdistävät tetraedrin kärjet vastakkaisille pinnoille piirrettyjen ympyröiden keskipisteisiin, leikkaavat yhdessä pisteessä.
Näiden pintojen yhteiseen reunaan piirretyn kahden pinnan kulmien puolittajilla on yhteinen kanta.
Vastakkaisten reunojen pituuksien tulot ovat yhtä suuret.
Kolmio, jonka muodostavat yhdestä kärjestä lähtevän kolmen reunan toiset leikkauspisteet minkä tahansa näiden reunojen kolmen pään läpi kulkevan pallon kanssa, on tasasivuinen.

Säännöllinen tetraedri

Tämä on isoedrinen tetraedri, jossa kaikki pinnat ovat säännöllisiä kolmioita . Se on yksi viidestä platonisesta kiintoaineesta .

Säännöllisen tetraedrin ominaisuudet:

tetraedrin kaikki reunat ovat yhtä suuret,
Tetraedrin kaikki pinnat ovat yhtä suuret
kaikkien pintojen kehät ja pinta-alat ovat yhtä suuret.
Säännöllinen tetraedri on samanaikaisesti ortosentrinen, rautalankakehys, isohedri, epäkeskinen ja suhteellinen.
Tetraedri on säännöllinen, jos se kuuluu johonkin kahteen lueteltuun tetraedrityyppiin: ortosentrinen, rautalankakehys, epäkeskinen, suhteellinen, isoedri .
Tetraedri on säännöllinen, jos se on isoedrinen ja kuuluu johonkin seuraavista tetraedrityypeistä: ortosentrinen, rautalankakehys, epäkeskinen, suhteellinen .
Oktaedri voidaan kirjoittaa säännölliseen tetraedriin, lisäksi oktaedrin neljä (kahdeksasta) pinnasta on kohdistettu tetraedrin neljän pinnan kanssa, oktaedrin kaikki kuusi kärkeä ovat kohdakkain tetraedrin kuuden reunan keskipisteiden kanssa .
Säännöllinen tetraedri koostuu yhdestä kirjoitetusta oktaedrista (keskellä) ja neljästä tetraedristä (kärkiä pitkin), ja näiden tetraedrien ja oktaedrin reunat ovat puolet säännöllisen tetraedrin reunojen koosta.
Säännöllinen tetraedri voidaan kirjoittaa kuutioon kahdella tavalla, ja lisäksi tetraedrin neljä kärkeä ovat kohdakkain kuution neljän kärjen kanssa.
Säännöllinen tetraedri voidaan kirjoittaa dodekaedriin, ja lisäksi tetraedrin neljä kärkeä on kohdistettu dodekaedrin neljän kärjen kanssa.
Säännöllisen tetraedrin risteävät reunat ovat keskenään kohtisuorassa.

Tetraedrin tilavuus

Tetraedrin tilavuus (ottaen huomioon etumerkki), jonka kärjet ovat pisteissä, on yhtä suuri kuin $\mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),$ $\mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),$ $\mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),$ $\mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4}),$

V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_ {3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}x_{ 2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}- z_{1}\\x_{4}-x_{1}&y_{4}-y_{1}&z_{4}-z_{1}\end{vmatrix}},

tai

V={\frac {1}{3}}\ SH,

missä on minkä tahansa kasvon pinta-ala, ja mikä on näille kasvoille pudonnut korkeus. $S$ $H$

Tetraedrin tilavuus reunan pituuksina ilmaistaan käyttämällä Cayley-Menger-determinanttia :

288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{ 2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14} ^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}.

Tällä kaavalla on tasainen analogi kolmion alueelle Heronin kaavan muunnelman muodossa samanlaisen determinantin kautta.
Tetraedrin tilavuus kahden vastakkaisen reunan a ja b risteyslinjoina, jotka ovat etäisyydellä h ja muodostavat kulman keskenään , saadaan kaavalla: $\phi$

$V={\frac {1}{6}}abh\sin \phi .$

Tetraedrin tilavuus sen kolmen reunan pituuksien a , b ja c kautta , jotka lähtevät yhdestä kärjestä ja muodostavat vastaavasti pareittain litteitä kulmia , saadaan kaavalla [5] $\alpha ,\beta ,\gamma$

V={\frac {1}{6}}\ abc{\sqrt {D)),

missä

D = | yksi cos ⁡ γ cos ⁡ β cos ⁡ γ yksi cos ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ α yksi | . {\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix)) .}

D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix)) .

Analogi viimeisen kaavan tasolle on kaava kolmion pinta-alalle sen kahden sivun a ja b pituuksilla , jotka tulevat yhdestä kärjestä ja muodostavat kulman niiden välille : $\gamma$

S={\frac {1}{2}}\ab{\sqrt {D}},

missä $D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma \\\cos \gamma &1\\\end{vmatrix}}.$

Huomautus

On olemassa analogi Heronin kaavalle tetraedrin tilavuudelle [6]

Tetraedrin kaavat karteesisissa koordinaateissa avaruudessa

Nimitykset:

$\mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),$ $\mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),$ $\mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),$ $\mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4})$ ovat tetraedrin kärkien koordinaatit.

Tetraedrin tilavuus (ottaen huomioon merkki):

$V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_ {3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}$ .

Painopisteen koordinaatit (mediaanien leikkauspiste): $\mathbf {r} _{T}(x_{T},y_{T},z_{T})$

$x_{T}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}};$ $y_{T}={\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}}{4}});$ $z_{T}={\frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}}{4}}.$

Piirretyn pallon keskipisteen koordinaatit: $\mathbf {r} _{r}(x_{r},y_{r},z_{r})$

$x_{r}={\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};$ $y_{r}={\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};$ $z_{r}={\frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}},$

missä on ensimmäistä kärkeä vastakkaisen kasvon pinta-ala, on toista kärkeä vastakkaisen kasvon pinta-ala ja niin edelleen. $S_{1}$ ${\displaystyle S_{2))$

Näin ollen piirretyn pallon yhtälö:

$(x-{\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_{1 }+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_ {3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\ frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_ {3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2} ,$

Ensimmäistä kärkeä vastapäätä olevan määritellyn pallon yhtälö:

$(x-{\frac {-S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2 }+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+( z-{\frac {-S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}+ S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4} }})^{2},$

Ensimmäistä ja toista kärkeä vastapäätä olevan määritetyn pallon yhtälö (tällaisten pallojen lukumäärä voi vaihdella nollasta kolmeen):

$(x-{\frac {-S_{1}x_{1}-S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_ {1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}-S_{2}y_{2 }+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+( z-{\frac {-S_{1}z_{1}-S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}- S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4} }})^{2},$

Rajatun pallon yhtälö:

${\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&x&y&z&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1 }^{2}&x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}&x_{2} &y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&z_{3}&1 \\x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatrix}}=0.$

Tetraedrikaavat barysentrisissä koordinaateissa

Nimitykset:

$\mathbf {J} (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4})=\alpha _{1}\mathbf {J_{1 }} +\alpha _{2}\mathbf {J_{2}} +\alpha _{3}\mathbf {J_{3}} +\alpha _{4}\mathbf {J_{4}} ,$ ovat barysentrisiä koordinaatteja.

Tilavuus tetraedrin (ottaen huomioon etumerkki): Olkoon tetraedrin kärkien koordinaatit. $\mathbf {J} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1}),\mathbf {J} _{2}(x_{2},y_ {2},z_{2},t_{2}),\mathbf {J} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3},t_{3}),\mathbf {J } _{4}(x_{4},y_{4},z_{4},t_{4}).$

Sitten

$V={\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&t_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&t_{2}\\ x_{3}&y_{3}&z_{3}&t_{3}\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&t_{4}\\\end{vmatrix}}{(x_{1}+y_ {1}+z_{1}+t_{1})(x_{2}+y_{2}+z_{2}+t_{2})(x_{3}+y_{3}+z_{3} +t_{3})(x_{4}+y_{4}+z_{4}+t_{4})}}V',$ missä on perustetraedrin tilavuus. $V'$

Painopisteen koordinaatit (mediaanien leikkauspiste): $\mathbf {J} _{T}(1,1,1,1).$

Piirretyn pallon keskipisteen koordinaatit: $\mathbf {J} _{r}(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}).$

Kuvatun pallon keskipisteen koordinaatit:

$\mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} &\mathbf {J_{2}} &\mathbf {J_{3}} &\mathbf { J_{4}} \\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\ alfa _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{ 2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4, 2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}.$

Pisteiden välinen etäisyys : $\mathbf {J} _{A}(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}),\mathbf {J} _{B}(B_{1},B_ {2},B_{3},B_{4})$

Anna ja niin edelleen. $C_{1}={\frac {A_{1}}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}-{\frac {B_{1}}{ B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}};C_{2}={\frac {A_{2}}{A_{1}+A_{2}+A_{3 }+A_{4}}}-{\frac {B_{2}}{B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}}$

Sitten kahden pisteen välinen etäisyys on: $d^{2}=-(C_{1}C_{2}\alpha _{1,2}^{2}+C_{1}C_{3}\alpha _{1,3}^{ 2}+C_{1}C_{4}\alpha _{1,4}^{2}+C_{2}C_{3}\alpha _{2,3}^{2}+C_{2}C_ {4}\alpha _{2,4}^{2}+C_{3}C_{4}\alpha _{3,4}^{2}).$

Kolmio- ja tetraedrikaavojen vertailu

Alue (tilavuus)
$S={\sqrt {-{\frac {1}{16}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2 }\\1&b^{2}&c^{2}&0\\\end{vmatrix}}}}$	$V={\sqrt {{\frac {1}{288}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1} ^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{ 4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\ \1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}} }$ , missä on pisteiden 1 ja 2 välinen etäisyys $\alpha _{1,2}$
$S={\frac {1}{2}}ah_{a}$	$V={\frac {1}{3}}S_{1}H_{1}$
$S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$	$V={\frac {2}{3}}{\frac {S_{1}S_{2}}{\alpha _{3,4}}}\sin(\phi _{1,2} )$ , missä on pintojen 1 ja 2 välinen kulma ja pisteiden 1 ja 2 vastakkaisten pintojen alueet $\phi _{1,2}$ ${\displaystyle S_{1))$ ${\displaystyle S_{2))$
Puolittajan pituus (pinta-ala).
$l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}$	$L_{1,2}={\frac {2S_{1}S_{2}\cos({\frac {\phi _{1,2}}{2}})}{S_{1}+ S_{2}}}$
Keskipituus
$m_{c}={\frac {{\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2)))){2))$	$m_{1}={\frac {\sqrt {3(\alpha _{1,2}^{2}+\alpha _{1,3}^{2}+\alpha _{1,4 }^{2})-(\alpha _{2,3}^{2}+\alpha _{2,4}^{2}+\alpha _{3,4}^{2})}}{ 3}}$
Piirretyn ympyrän säde (pallo)
$r={\frac {2S}{a+b+c))$	${\displaystyle r={\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4))))$
Piirretyn ympyrän (pallon) säde
$R={\frac {abc}{4S}}$	$R={\frac {S_{T}}{6V}}$ , missä on sivuineen kolmion pinta-ala $S_{T}$ $\alpha _{1,2}\alpha _{3,4},\alpha _{1,3}\alpha _{2,4},\alpha _{1,4}\alpha _{2 ,3}$
Kosinilause
$\cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$	$\cos(\phi _{1,2})={\frac {A_{1,2}}{16S_{1}S_{2}}}$ , missä on pintojen 1 ja 2 välinen kulma ja pisteiden 1 ja 2 vastakkaisten pintojen alueet, on matriisielementin algebrallinen komplementti $\phi _{1,2}$ ${\displaystyle S_{1))$ ${\displaystyle S_{2))$ $A_{1,2}$ $\alpha _{2,1}^{2}$ ${\begin{pmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2 }\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3 ,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\ alfa _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{pmatrix}}$
Sinilause
${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$	${\frac {S_{1}}{\Psi _{1}}}={\frac {S_{2}}{\Psi _{2}}}={\frac {S_{3}} {\Psi _{3}}}={\frac {S_{4}}{\Psi _{4}}}$ , missä ovat kärkien 1, 2, 3, 4 vastakkaisten pintojen alueet, missä ovat kärjen dihedraaliset kulmat. ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ $\Psi ={\sqrt {\begin{vmatrix}1&-\cos(A)&-\cos(B)\\-\cos(A)&1&-\cos(C)\\-\cos( B)&-\cos(C)&1\\\end{vmatrix}}}$ $A, B, C$
Lause kolmion kulmien summasta (tetraedrin dihedraalisten kulmien suhde)
$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$	${\begin{vmatrix}1&-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \ vasen(\phi _{4,1}\oikea)\\-\cos \vasen(\phi _{2,1}\oikea)&1&-\cos \vasen(\phi _{3,2}\oikea) &-\cos \left(\phi _{4,2}\right)\\-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3, 2}\oikea)&1&-\cos \vasen(\phi _{4,3}\oikea)\\-\cos \vasen(\phi _{4,1}\oikea)&-\cos \left(\ phi _{4,2}\oikea)&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)&1\\\end{vmatrix}}=0$ , missä on pintojen 1 ja 2 välinen kulma $\phi _{1,2}$
Etäisyys piirrettyjen ja kuvattujen ympyröiden (pallojen) keskipisteiden välillä
$R^{2}-d^{2}=2Rr$	$R^{2}-d^{2}={\frac {S_{1}S_{2}\alpha _{1,2}^{2}+S_{1}S_{3}\alpha _{1,3}^{2}+S_{1}S_{4}\alpha _{1,4}^{2}+S_{2}S_{3}\alpha _{2,3}^{ 2}+S_{2}S_{4}\alpha _{2,4}^{2}+S_{3}S_{4}\alpha _{3,4}^{2}}{(S_{1 }+S_{2}+S_{3}+S_{4})^{2}}}$ , missä ovat pisteiden 1, 2, 3, 4 vastakkaisten pintojen alueet. ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ Toinen lausekkeen ilmaus: missä on rajatun pallon keskipisteen ja pallon keskipisteen välinen etäisyys, joka kulkee kolmen kärjen ja yhden keskipisteen kautta. $R^{2}-d^{2}=2rT,$ $T$

Tetraedri ei-euklidisissa tiloissa

Ei-euklidisen tetraedrin tilavuus

Ei-euklidisten tetraedrien tilavuuden löytämiseksi on monia kaavoja. Esimerkiksi Derevnin-Mednykh-kaava [7] hyperboliselle tetraedrille ja J. Murakamin kaava [8] pallomaiselle tetraedrille. Tetraedrin tilavuutta pallomaisessa avaruudessa ja Lobatševskin avaruudessa ei yleensä ilmaista alkeisfunktioiden kautta .

Tetraedrin kaksitahoisten kulmien välinen suhde

$\operatorname {det} \Psi >0$ pallomaiselle tetraedrille.

$\operatorname {det} \Psi <0$ hyperboliselle tetraedrille.

Missä on Gram-matriisi pallomaisen ja hyperbolisen tetraedrin dihedraalikulmille. $\Psi ={\begin{pmatrix}1&-\cos(A_{2,1})&-\cos(A_{3,1})&-\cos(A_{4,1})\\ -\cos(A_{2,1})&1&-\cos(A_{3,2})&-\cos(A_{4,2})\\-\cos(A_{3,1})&- \cos(A_{3,2})&1&-\cos(A_{4,3})\\-\cos(A_{4,1})&-\cos(A_{4,2})&-\ cos(A_{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$

$A_{{i,j}}$ on kärjen i:n ja j:n vastakkaisten pintojen välinen kulma.

Kosinilause

$\cos(A_{i,j})=-{\frac {\Phi _{i,j)){\sqrt {\Phi _{i,i}\Phi _{j,j))} }$ — pallomaiselle ja hyperboliselle tetraedrille.

$\cos(\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j)){\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j,j)) }}$ pallomaiselle tetraedrille.

$\operaattorinnimi {ch} (\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j)){\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j, j}}}}$ hyperboliselle tetraedrille.

Missä on Gram-matriisi pallomaisen tetraedrin pelkistetyille reunoille. $\Phi ={\begin{pmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1} )\\\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})\\\cos(\alpha _{ 3,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\ alfa _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$

$\Phi ={\begin{pmatrix}1&\operaattorinimi {ch} (\alpha _{2,1})&\operaattorinimi {ch} (\alpha _{3,1})&\operaattorinnimi {ch} (\alpha _{4,1})\\\operaattorinnimi {ch} (\alpha _{2,1})&1&\operaattorinimi {ch} (\alpha _{3,2})&\operaattorinnimi {ch} ( \alpha _{4,2})\\\operaattorinnimi {ch} (\alpha _{3,1})&\operaattorin nimi {ch} (\alpha _{3,2})&1&\operaattorinnimi {ch} (\ alfa _{4,3})\\\operaattorin nimi {ch} (\alpha _{4,1})&\operaattorin nimi {ch} (\alpha _{4,2})&\operaattorin nimi {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$ on Gram-matriisi hyperbolisen tetraedrin pelkistetyille reunoille.

${\näyttötyyli \alpha _{i,j))$ — pienempi etäisyys i- ja j-pisteiden välillä.

$\Psi _{i,j}$ on matriisin algebrallinen komplementti . $\psi$

Sinilause

${\frac {\Phi _{1,1}}{\Psi _{1,1}}}={\frac {\Phi _{2,2}}{\Psi _{2,2} ))={\frac {\Phi _{3,3}}{\Psi _{3,3}}}={\frac {\Phi _{4,4}}{\Psi _{4,4} }}$ — pallomaiselle ja hyperboliselle tetraedrille.

Piirretyn pallon säde

${\begin{vmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1})&1\ \\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})&1\\\cos(\alpha _{3 ,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\ alfa _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\cos ^{2}(R)))\\\end{vmatrix} }=0$ pallomaiselle tetraedrille.

Toinen tapa kirjoittaa lauseke: , missä ovat tetraedrin kasvojen normaalit. ${\displaystyle {\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {n_{1}}}+{\ sqrt {\Phi _{2,2))}{\overrightarrow {n_{2))}+{\sqrt {\Phi _{3,3))}{\overrightarrow {n_{3))}+{\ sqrt {\Phi _{4,4))}{\overrightarrow {n_{4))}|}{\sqrt {\operaattorinnimi {det} \Phi ))))$ ${\overrightarrow {n_{1}}},{\overrightarrow {n_{2}}},{\overrightarrow {n_{3}}},{\overrightarrow {n_{4}}}$

Tai tetraedrin kärkien koordinaateilla: . ${\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\begin{vmatrix}0&{\overrightarrow {i_{1}}}&{\overrightarrow {i_{2}} }&{\overrightarrow {i_{3}}}&{\overrightarrow {i_{4}}}\\1&X_{1}&Y_{1}&Z_{1}&T_{1}\\1&X_{2}&Y_{2 }&Z_{2}&T_{2}\\1&X_{3}&Y_{3}&Z_{3}&T_{3}\\1&X_{4}&Y_{4}&Z_{4}&T_{4}\\\end{ vmatrix}}|}{\sqrt {\operaattorinnimi {det} \Phi }}}$

${\begin{vmatrix}1&\operaattorinnimi {ch} (\alpha _{2,1})&\operaattorinnimi {ch} (\alpha _{3,1})&\operaattorinnimi {ch} (\alpha _{4,1})&1\\\operaattorinimi {ch} (\alpha _{2,1})&1&\operaattorinimi {ch} (\alpha _{3,2})&\operaattorinnimi {ch} (\alpha _{4,2})&1\\\operaattorinimi {ch} (\alpha _{3,1})&\operaattorinimi {ch} (\alpha _{3,2})&1&\operaattorinimi {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\operaattorin nimi {ch} (\alpha _{4,1})&\operaattorin nimi {ch} (\alpha _{4,2})&\operaattorin nimi {ch} (\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\operaattorinimi {ch} ^{2}(R)))\\\end{vmatrix}}=0$ - hyperboliselle tetraedrille

Kirjoitetun pallon säde

${\frac {1}{\sin ^{2}(r)))={\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3, 3}+\Phi _{4,4}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2))}\cos(\alpha _{1,2})+2{ \sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3))}\cos(\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _ {4,4}}}\cos(\alpha _{1,4})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{3,3}}}\cos(\alpha _{ 2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4))}\cos(\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _ {3,3}\Phi _{4,4}}}\cos(\alpha _{3,4})}{\operaattorin nimi {det} \Phi }}$ pallomaiselle tetraedrille.

Toinen tapa kirjoittaa lauseke on , missä ovat tetraedrin kärkien yksikkösädevektorit. ${\displaystyle {\frac {1}{\sin(r)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {r_{1}}}+{\ sqrt {\Phi _{2,2))}{\overrightarrow {r_{2))}+{\sqrt {\Phi _{3,3))}{\overrightarrow {r_{3))}+{\ sqrt {\Phi _{4,4))}{\overrightarrow {r_{4))}|}{\sqrt {\operaattorinnimi {det} \Phi ))))$ ${\overrightarrow {r_{1}}},{\overrightarrow {r_{2}}},{\overrightarrow {r_{3}}},{\overrightarrow {r_{4}}}$

${\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}(r)))=-{\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3,3}+\Phi _{4,4}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2))}\operaattorinimi {ch} (\alpha _{1 ,2})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3))}\operaattorin nimi {ch} (\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\ Phi _{1,1}\Phi _{4,4}}}\operaattorin nimi {ch} (\alpha _{1,4})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{ 3,3))}\operaattorin nimi {ch} (\alpha _{2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4))}\operaattorin nimi {ch} (\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _{3,3}\Phi _{4,4))}\operaattorin nimi {ch} (\alpha _{3,4})} {\operaattorin nimi {det} \Phi }}$ hyperboliselle tetraedrille.

Etäisyys piirretyn ja rajatun pallon keskipisteiden välillä

${\frac {\cos(d)}{\sin(r)\cos(R)))={\frac ({\sqrt {\Phi _{1,1))}+{\sqrt { \Phi _{2,2}}}+{\sqrt {\Phi _{3,3}}}+{\sqrt {\Phi _{4,4}}}}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}$ pallomaiselle tetraedrille.

Tetraedrikaavat barysentrisissä koordinaateissa

Piirretyn pallon keskipisteen koordinaatit:

$\mathbf {J} _{r}({\sqrt {\Phi _{1,1))},{\sqrt {\Phi _{2,2))},{\sqrt {\Phi _ {3,3}}},{\sqrt {\Phi _{4,4}}}).$ pallomaiselle tetraedrille.

Kuvatun pallon keskipisteen koordinaatit:

$\mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} &\mathbf {J_{2}} &\mathbf {J_{3}} &\mathbf { J_{4}} \\1&1&\cos(\alpha _{1,2})&\cos(\alpha _{1,3})&\cos(\alpha _{1,4})\\1&\ cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{2,3})&\cos(\alpha _{2,4})\\1&\cos(\alpha _{3,1 })&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{3,4})\\1&\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\alpha _ {4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{vmatrix}}.$ pallomaiselle tetraedrille.

Tetrahedra mikrokosmuksessa

Säännöllinen tetraedri muodostuu atomiorbitaalien sp 3 -hybridisaation aikana (niiden akselit on suunnattu säännöllisen tetraedrin kärkiin ja keskusatomin ydin sijaitsee kuvatun säännöllisen tetraedrin pallon keskellä), siksi monet molekyyleillä, joissa tällainen keskusatomin hybridisaatio tapahtuu, on tämän polyhedronin muoto.
CH 4 - metaanimolekyyli .
Ammoniumioni NH4 + . _ _
Sulfaatti-ioni SO 4 2- , fosfaatti-ioni PO 4 3- , perkloraatti-ioni ClO 4 - ja monet muut ionit.
Diamond C on tetraedri, jonka reuna on 2,5220 angströmiä .
Fluoriitti CaF 2 , tetraedri , jonka reuna on 3,8626 angströmiä .
Sfaleriitti , ZnS, tetraedri, jonka reuna on 3,823 angströmiä .
Sinkkioksidi , ZnO.
Kompleksi-ionit [BF4 ] - , [ZnCl4 ] 2- , [Hg(CN) 4 ] 2- , [Zn(NH3 ) 4 ] 2+ .
Silikaatit , joiden rakenteet perustuvat pii-happitetraedriin [SiO 4 ] 4- .

Tetrahedra luonnossa

Jotkut hedelmät, joita on toisaalta neljä, sijaitsevat tetraedrin kärjessä lähellä säännöllistä. Tämä rakenne johtuu siitä, että neljän identtisen pallon keskipisteet, jotka koskettavat toisiaan, sijaitsevat säännöllisen tetraedrin huipuissa. Siksi pallomaiset hedelmät muodostavat samanlaisen keskinäisen järjestelyn. Esimerkiksi saksanpähkinät voidaan järjestää tällä tavalla .

Tetrahedra tekniikassa

Tetraedri muodostaa jäykän, staattisesti määrätyn rakenteen. Tankoista tehtyä tetraedria käytetään usein rakennusten jännevälien, kattojen, palkkien, ristikoiden tilakantavien rakenteiden perustana, tangot kokevat vain pituussuuntaisia kuormia.
Suorakaiteen muotoista tetraedria käytetään optiikassa. Jos suorassa kulmassa olevat kasvot peitetään heijastavalla koostumuksella tai koko tetraedri on valmistettu materiaalista, jolla on voimakas valon taittuminen siten, että syntyy kokonaisheijastuksen vaikutus, niin suorassa kulmassa olevaa kärkeä vastakkaisille kasvoille suunnattu valo heijastua samaan suuntaan, josta se tuli. Tätä ominaisuutta käytetään kulmaheijastimien , heijastimien luomiseen .
Kvaternäärinen liipaisugraafi on tetraedri [ 9] .

Tetrahedra filosofiassa

"Platon sanoi, että tulen pienimmät hiukkaset ovat tetraedria" [10] .

maallinen yhteiskunta. Yksi naisista kertoo unensa:

- Hyvät herrat, näin tänään kauhean unen! Ihan kuin työntäisin sormeni sisään

suu - eikä siinä ole yhtään hammasta!

Rževski:

-- Rouva -- luultavasti laitoit sormesi väärään paikkaan ( tetraedri ) ...

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Dvoretskin antiikin kreikka-venäläinen sanakirja "τετρά-εδρον" (pääsemätön linkki) . Haettu 20. helmikuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 28. joulukuuta 2014. (määrätön)
↑ Selivanov D. F. ,. Geometrinen runko // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 nidettä (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektorialgebra esimerkeissä ja ongelmissa . - M . : Korkeakoulu , 1985. - 232 s. Arkistoitu 10. tammikuuta 2014 Wayback Machineen
↑ V. E. MATIZEN Isoedrinen ja runkotetraedri "Quantum" nro 7, 1983
↑ Modenov P.S. Ongelmia geometriassa. - M . : Nauka, 1979. - S. 16.
↑ Markelov S. Kaava tetraedrin tilavuudelle // Matemaattinen koulutus. Ongelma. 6. 2002. s. 132
↑ Lähde . Haettu 31. maaliskuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 30. elokuuta 2017. (määrätön)
↑ Lähde . Haettu 31. maaliskuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 31. maaliskuuta 2018. (määrätön)
↑ http://knol.google.com/k/trigger#view Arkistoitu 23. marraskuuta 2010 Wayback Machine Triggerissä
↑ Werner Heisenberg. Kvanttiteorian juuret. M. 2004 s. 107

Kirjallisuus

Matizen V. E., Dubrovsky. Tetraedrin "Quantum" geometriasta , nro 9, 1988, s. 66.
Zaslavsky A. A. Kolmion ja tetraedrin vertaileva geometria // Matemaattinen koulutus, ser. 3 (2004), nro 8, s. 78-92.
Ponarin Ya. P. Alkeinen geometria. Osa 3. Kolmiot ja tetraedrit. 2009

Polyhedra

oikea

Kolmiulotteinen (platoniset kiinteät aineet)	säännöllinen tetraedri Kuutio Oktaedri Dodekaedri ikosaedri
4D	Viisisoluinen tesserakti Heksadesimaalinen solu kaksikymmentäneljä solua 120 solua Kuusisataa solua
Suurempi koko (merkitty suluissa)	Tavallinen simpleksi Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaedri

Säännöllinen
ei-kupera

Kolmiulotteinen
kasvojen lukumäärän mukaan (merkitty suluissa)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraedri (4)
Pentaedri (5)
Heksaedri (6)
Heptahedron (7)
Oktaedri (8)
Enneaedri (9)
Dekaedri (10)
Endekaedri (11)
Dodekaedri (12)
Tridekaedri (13)
Tetradekaedri (14)
Pentadekaedri (15)
Heksadekaedri (16)
Heptadekaedri (17)
Oktadekaedri (18)
Enneadekaedri (19)
Ikosaedri (20)
Ikosotetraedri (24)
Triakontaedri (30)
Heksakontaedri (60)
Enneakontaedri (90)
Hektotriadioedri (132)
Apeiroedri (∞)

kupera

Archimedean kiinteät aineet

Katalonian ruumiit

Prismat
Kolmisivuinen prisma nelikulmainen prisma Viisikulmainen prisma Kuusikulmainen prisma Seitsenkulmainen prisma Kahdeksankulmainen prisma Yhdeksänkulmainen prisma Dekagonaalinen prisma 11-kulmainen prisma Kaksikulmainen prisma

Johnson polyhedra

Kaavat ,
lauseet ,
teoriat

muu