Katkaistu kuutioktaedri

Katkaistu kuutioktaedri


Tyyppi	Puolisäännöllinen monitahoinen
reuna	neliö , kuusikulmio , kahdeksankulmio
kasvot	$26$
kylkiluut	$72$
Huiput	$48$
Fasetit ylhäällä	$3$
Kiinteä kulma	4-6:arccos(-sqrt(6)/3)=144°44'08" 4-8:arccos(-sqrt(2)/3)=135° 6-8:arccos(-sqrt(3)/ 3)=125°15'51"
Pistesymmetriaryhmä _	Octahedral, [4,3] + , (432), järjestys 24
Kaksoispolyhedron _	Heksakisoktaedri
Skannata
Reunavärjäyksellä _	Vertex figuuri

Katkaistu kuutiotaedri [1] [2] , katkaistu kuutiotaedri [3] on puolisäännöllinen monitahoinen (arkimedelainen kappale), jossa on 12 neliöpintaa , 8 säännöllistä kuusikulmiopintaa , 6 säännöllistä kahdeksankulmaista pintaa , 48 kärkeä ja 72 reunaa. Koska jokaisella monitahoisen pinnalla on keskussymmetria (vastaa 180°:n kiertoa), katkaistu kuutiotaedri on vyöhykeedri .

Muut otsikot

Tällä polyhedronilla on useita nimiä:

Katkaistu kuutioektaedri ( Johannes Kepler )
Rombinen katkaistu kuutiometri ( Magnus Wenninger [4] [5] )
Suuri rombikubotaedri ( Robert Williams [6] )
Suuri rombikubotaedri (Peter Cromwell [7] )
katkaistu kuutio tai katkaistu kuutio ( Norman Johnson )

Johannes Keplerin alun perin antama nimi katkaistu kuuboktaedri on hieman harhaanjohtava. Kuution katkaisu leikkaamalla kulmat (pisteet) ei mahdollista tämän homogeenisen hahmon saamista - jotkut pinnat ovat suorakulmioita . Tuloksena oleva kuvio vastaa kuitenkin topologisesti katkaistua kuutio-oktaedria ja se voidaan aina muuttaa tilaan, jossa pinnat muuttuvat säännöllisiksi.

Vaihtoehtoinen nimi, suuri rombikubotaedri , viittaa siihen, että 12 neliöpintaa ovat samoissa tasoissa kuin rombisen dodekaedrin 12 pintaa , joka on kaksoiskuuboktaedri. ke pieni rombikubotaedri .

On myös ei- kupera yhtenäinen monitahoinen samalla nimellä - ei- kupera suuri rombikubotaedri .

Suorakulmaiset koordinaatit

Typistetyn kuutioktaedrin kärkien karteesiset koordinaatit , jonka reuna on pituus 2 ja jonka keskipiste on origossa, ovat lukujen permutaatioita :

(±1, ±(1+√2), ±(1+2√2))

Pinta-ala ja tilavuus

Katkaistun kuutioktaedrin, jonka reuna on pituus a , pinta- ala A ja tilavuus V ovat yhtä suuret:

A=12\left(2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\noin 61.7551724a^{2}

V=\left(22+14{\sqrt {2}}\right)a^{3}\noin 41.7989899a^{3}.

Dissektio

Katkaistu kuutioktaedri voidaan leikata (leikata osia) keskimmäiseksi rombikubotaedriksi , jossa on 6 nelikulmaista kupolia ensisijaisten neliöpintojen päällä, 8 kolmiomaista kupolia kolmiomaisten pintojen päällä ja 12 kuutiota toissijaisten neliöpintojen päällä.

Leikattu katkaistu kuutiometri voi antaa Stewartin toroideja suvusta 5, 7 tai 11, jos keskimmäinen rombikubotaedri ja joko neliömäiset kupolit tai kolmiomaiset kupolit tai 12 kuutiota poistetaan. On mahdollista rakentaa monia muita toroideja, joilla on vähemmän symmetriaa, poistamalla osa näistä valmistelukomponenteista. Esimerkiksi poistamalla puolet kolmiomaisista kupuista syntyy suvun 3 toroidi, jolla (oikeilla kupujen valinnalla) on tetraedrisymmetria [8] [9] .

Stewartin toroidit

Suku 3	Suku 5	Suku 7	Suku 11

Tasaiset värit

Tämän monitahoisen pinnalla on vain yksi yhtenäinen väritys , yksi väri jokaiselle kasvotyypille.

On olemassa 2-tasainen väritys tetraedrisellä symmetrialla ja kuusikulmioiden väritys kahdessa värissä.

Ortografiset projektiot

Katkaistulla kuutioktaedrilla on kaksi erityistä ortogonaalista projektiota A 2 ja B 2 Coxeterin tasoihin , joissa on [6] ja [8] projektitiiviset symmetriat, ja monia [2] symmetrioita voidaan rakentaa eri projektiotasoista.

Ortografiset projektiot

Keskitetty sukulainen	Huiput	Kylkiluut 4-6	Kylkiluut 4-8	Kylkiluut 6-8	Kasvot normaalit 4-6
Kuva
Projektiivinen symmetria	[2] +	[2]	[2]	[2]	[2]
Keskitetty sukulainen	Normaalista neliöön	Normaalit oktaedriin	Neliönmuotoiset kasvot	Kuusikulmaiset kasvot	Kahdeksankulmainen fasetti
Kuva
Projektiivinen symmetria	[2]	[2]	[2]	[6]	[kahdeksan]

Pallomaiset laatoitukset

Katkaistu kuutioktaedri voidaan esittää pallomaisena laatoituksena ja projisoida tasoon käyttämällä stereografista projektiota . Tämä projektio on mukautuva , se säilyttää kulmat, mutta ei säilytä pituuksia tai alueita. Pallon suorat linjat projisoidaan ympyräkaareiksi tasolle.

ortogonaalinen projektio	Stereografiset projektiot
	neliökeskeinen _	kuusikulmio - keskitetty	kahdeksankulmio - keskitetty

Aiheeseen liittyvät polytoopit

Katkaistu kuutio-oktaedri kuuluu kuutioon ja säännölliseen oktaedriin liittyvien yhtenäisten monitahojen perheeseen.

Tasainen oktaedrillinen polyhedra

Symmetria : [4,3], (*432)							[4,3] + , (432)	[3 + ,4], (3*2)


{4,3}	t{4,3}	r{4,3}	t{3,4}	{3,4}	rr{4,3}	tr{4,3}	sr{4,3}	s{3,4}
Kaksoispolyhedra

V4 3	v3.82 _	V(3.4) 2	v4.62 _	V3 4	v3.43 _	V4.6.8	V3 4.4 _	V3 5

Tätä monitahoista voidaan pitää homogeenisten kärkikuvioiden sarjan jäsenenä kaaviolla (4.6.2p) ja Coxeter-Dynkin-kaaviolla . Kun p < 6, sekvenssin jäsenet ovat yleensä katkaistuja polytooppeja ( zonohedra ), jotka on esitetty alla pallomaisina laatoitusina. Arvolla p > 6 ne ovat hyperbolisen tason laatoitusta, alkaen katkaistusta kolmikulmaisesta laatoituksesta .

* n 32 mutaatiota täysin typistettyjen mosaiikkien symmetriassa: 4.6.2n

Symmetria * n 32 n ,3	pallomainen				Euklidinen	Kompakti hyperbolinen		Paracomp.	Ei-kompakti hyperbolinen
Symmetria * n 32 n ,3	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]	[3i,3]
lukuja
Kokoonpano	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
kaksinkertainen
Kasvojen konfigurointi	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

* n 42 yleisten katkaistujen tessellaatioiden symmetriaa: 4.8.2n

Symmetria * n 42 [n,4]	pallomainen		Euklidinen	Kompakti hyperbolinen				Paracomp.
Symmetria * n 42 [n,4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]…	*∞42 [∞,4]
Katkaistu figuuri	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Yleisesti katkaistut kaksoiskappaleet	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

Typistetty kuutioktaedrikaavio

Katkaistu kuutioktaedrikaavio

Huiput	48
kylkiluut	72
Automorfismit	48
Kromaattinen numero	2
Ominaisuudet	kuutio Hamiltonin säännöllinen , nollasymmetrinen
Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Graafiteoriassa katkaistu kuutioktaedrigraafi ( tai suuri rombikuboktaedrigrafi ) on katkaistun kuutioktaedrin kärkien ja reunojen kuvaaja . Siinä on 48 kärkeä ja 72 reunaa, se on nollasymmetrinen ja se on kuutiomainen Arkhimedeen graafi [10] .

Muistiinpanot

↑ Weninger 1974 , s. 39.
↑ Lyusternik, 1956 , s. 184.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1963 , s. 437, 434.
↑ Weninger 1974 , s. 20, 39.
↑ Weninger, 1974 , s. 29.
↑ Williams, 1979 , s. 82.
↑ Cromwell, 1997 , s. 82.
↑ Stewart, 1970 .
↑ Seikkailut toroidien keskuudessa - Luku 5 - Yksinkertaisimmat (R)(A)(Q)(T) Suvun p=1 toroidit . Haettu 8. marraskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 4. helmikuuta 2016. (määrätön)
↑ Lue, Wilson, 1998 , s. 269.

Kirjallisuus

M. Weninger . polyhedra mallit. - Maailma , 1974.
Monikulmiot ja polyhedrat // Alkeismatematiikan tietosanakirja. Kirja neljä. Geometria / Toim. P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich , A. Ya. Khinchin . - M .: Valtion fyysisen ja matemaattisen kirjallisuuden kustantamo , 1963. - S. 382-447.
L. A. Lyusternik . Kuperia hahmoja ja polyhedraja. - M . : Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo , 1956.
Magnus Weninger. Polyhedron mallit. - Cambridge University Press , 1974. - ISBN 978-0-521-09859-5 . (Malli 15, sivu 29)
Robert Williams. Luonnonrakenteen geometrinen perusta: suunnittelun lähdekirja . - Dover Publications, Inc., 1979. - ISBN 0-486-23729-X .. (osio 3-9, s. 82)
P. Cromwell. Polyhedra. - Yhdistynyt kuningaskunta: Cambridge, 1997. - s. 79–86 Archimedean solids . - ISBN 0-521-55432-2 .
RC Read, RJ Wilson. Graafisten atlas. - Oxford University Press, 1998.
BM Stewart. Seikkailut toroidien joukossa. - 1970. - ISBN 978-0-686-11936-4 .

Linkit

Weisstein, Eric W. Great rhombicuboctahedral graph (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
3D kupera yhtenäinen polyhedra
Muokattava tulostettava verkko katkaistusta kuutioktaedrista interaktiivisella 3D-näkymällä
Uniform Polyhedra
Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
suuri rombikubotaedri: paperinauhat palmikointiin

Polyhedra

Oikea

Kolmiulotteinen (platoniset kiinteät aineet)	säännöllinen tetraedri Kuutio Oktaedri Dodekaedri ikosaedri
4D	Viisisoluinen tesserakti Heksadesimaalinen solu kaksikymmentäneljä solua 120 solua Kuusisataa solua
Suurempi koko (merkitty suluissa)	Tavallinen simpleksi Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaedri

Säännöllinen
ei-kupera

Kolmiulotteinen
kasvojen lukumäärän mukaan (merkitty suluissa)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraedri (4)
Pentaedri (5)
Heksaedri (6)
Heptahedron (7)
Oktaedri (8)
Enneaedri (9)
Dekaedri (10)
Endekaedri (11)
Dodekaedri (12)
Tridekaedri (13)
Tetradekaedri (14)
Pentadekaedri (15)
Heksadekaedri (16)
Heptadekaedri (17)
Oktadekaedri (18)
Enneadekaedri (19)
Ikosaedri (20)
Ikosotetraedri (24)
Triakontaedri (30)
Heksakontaedri (60)
Enneakontaedri (90)
Hektotriadioedri (132)
Apeiroedri (∞)

kupera

Archimedean kiinteät aineet

Katalonian ruumiit

Prismat
Kolmisivuinen prisma nelikulmainen prisma Viisikulmainen prisma Kuusikulmainen prisma Seitsenkulmainen prisma Kahdeksankulmainen prisma Yhdeksänkulmainen prisma Dekagonaalinen prisma 11-kulmainen prisma Kaksikulmainen prisma

Johnson polyhedra

Kaavat ,
lauseet ,
teoriat

Muut