Säännöllinen dodekaedri

( pyörivä malli , 3D - malli )

Tyyppi

säännöllinen monitahoinen

Ominaisuudet

kupera

Kombinatoriikka

Elementit

12 pintaa
30 reunaa
20 kärkeä

X = 2

Fasetit

säännölliset viisikulmiot

Vertex-kokoonpano

5 3

Kaksoispolyhedron

säännöllinen ikosaedri

Vertex figuuri

Skannata

Luokitus

Merkintä

U 23 , C 26 , W 5

Schläfli-symboli

{5,3}

Wythoff-symboli

3 | 25

Dynkinin kaavio

Symmetria ryhmä

I h , H 3 , [5,3], (*532)

Kiertoryhmä

I, [5,3] + , (532)

kvantitatiivinen tieto

Evien pituus

a

Pinta-ala

3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}

Äänenvoimakkuus

{\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4}}a^{3}

Dihedraalinen kulma

\arccos(-1/5^{1/2})\noin 116.565

Kiinteä kulma kärjessä

\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {2}{11}}\right)\quad \noin 2,96

Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Säännöllinen dodekaedri ( muista kreikan sanoista δώδεκα - "kaksitoista" ja εδρον - "kasvot") on yksi viidestä mahdollisesta säännöllisestä polyhedrasta . Dodekaedri koostuu kahdestatoista säännöllisestä viisikulmiosta [1] , jotka ovat sen pinnat. Jokainen dodekaedrin kärki on kolmen säännöllisen viisikulmion kärki. Dodekaedrilla on siis 12 pintaa (viisikulmainen), 30 reunaa ja 20 kärkeä (3 reunaa suppenee kussakin).

Historia

Ehkä vanhin dodekaedrin muotoinen esine löydettiin Pohjois- Italiasta lähellä Padovaa 1800-luvun lopulla, se juontaa juurensa 500 eKr. e. ja oletettavasti etruskit käyttivät sitä noppana [2] [3] .

Antiikin kreikkalaiset tiedemiehet käsittelivät dodekaedria kirjoituksissaan . Platon vertasi erilaisia klassisia elementtejä säännöllisiin polyhedraihin . Dodekaedrista Platon kirjoitti, että "... hänen jumalansa päätti maailmankaikkeuden ja turvautui siihen mallina" [4] . Eukleides " Alkujen " kirjan XIII lauseessa 17 rakentaa dodekaedrin kuution reunoihin [5] [6] :132-136 . Aleksandrian Pappus "Matemaattisessa kokoelmassa" osallistuu tiettyyn palloon piirretyn dodekaedrin rakentamiseen, mikä osoittaa matkan varrella, että dodekaedrin kärjet ovat yhdensuuntaisissa tasoissa [7] [6] :318-319 [8] .

Useiden Euroopan maiden alueelta on löydetty monia esineitä, joita kutsutaan roomalaisiksi dodekaedreiksi ja jotka ovat peräisin 2.-3. vuosisadalta. n. e., jonka tarkoitus ei ole täysin selvä.

Pian Rubikin kuution ilmestymisen jälkeen vuonna 1981 patentoitiin samanlainen palapeli tavallisen dodekaedrin - megaminxin muodossa . Kuten klassisessa Rubikin kuutiossa, jokaisen reunan vieressä on kolme osaa [9] . Myöhemmin, mitä tulee Rubikin kuutioon, sellaisia dodekahedraalisia pulmia ilmestyi neljällä reunalla (gigaminx), viidellä (theraminx) jne. Niiden, kuten Rubikin kuution, kokoamisen monimutkaisuus ja aika lisääntyvät, kun osien määrä kasvaa reunassa.

Peruskaavat

Jos otamme reunan pituuden , niin dodekaedrin pinta-ala on yhtä suuri $a$

S=3a^{2}{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5))))}\noin 20{,}65a^{2}.

Dodekaedrin tilavuus

V={\frac {a^{3}}{4}}(15+7{\sqrt {5}})\noin 7{,}66a^{3}.

Piirretyn pallon säde [10]

R={\frac {a}{4}}(1+{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}\noin 1{,}4012a.

Puolikirjoitetun pallon säde on [10] ${\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}}a\noin 1{,}309a.$

Piirretyn pallon säde [10]

r={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+{\frac {22}{\sqrt {5}}}}}\noin 1{,}1135a.

Ominaisuudet

Dodekaedrin kaikki kaksikymmentä kärkeä sijaitsevat viisi neljässä yhdensuuntaisessa tasossa , jotka muodostavat säännöllisen viisikulmion jokaisessa niistä.
Kahden vierekkäisen dodekaedrin pinnan välinen dihedrikulma on kaari (−1/√5) ≈ 116,565° [ 10] .
Tasaisten kulmien summa kussakin 20 kärjessä on 324°, solidaarinen (kolmikantinen ) kulma on arccos(−11/5√5) ≈ 2,9617 steradiaania .
Kuutio voidaan kirjoittaa dodekaedriin siten, että kuution sivut ovat dodekaedrin lävistäjät.
Dodekaedrissa on kolme tähtiä .
Dodekaedriin voidaan kirjoittaa viisi kuutiota. Jos korvaamme dodekaedrin viisikulmaiset pinnat litteillä viisikulmaisilla tähdillä siten, että kaikki dodekaedrin reunat katoavat, saadaan viiden leikkaavan kuution tila. Dodekaedri sellaisenaan katoaa. Suljetun polyhedronin sijasta ilmestyy avoin geometrinen järjestelmä, jossa on viisi ortogonaalisuutta. Tai viiden kolmiulotteisen tilan symmetrinen leikkauspiste.
Lähin mielivaltaisesti valitun pinnan suuntainen taso, jossa on viisi kärkeä, jotka eivät kuulu valittuun pintaan, erotetaan tästä pinnasta tämän pinnan ympärille rajatun ympyrän säteen etäisyydellä. Ja näiden viiden kärjen ympärille kuvatun ympyrän säde on yhtä suuri kuin mihin tahansa pintaan piirretyn ympyrän halkaisija. Nämä kaksi määrää ovat vastaavasti ja , Jossa on dodekaedrin reunan pituus. ${\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}a$ ${\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}a$ $a$

Dodekaedrin symmetriaelementit

Dodekaedrilla on symmetriakeskus ja 15 symmetria-akselia. Jokainen akseli kulkee vastakkaisten yhdensuuntaisten reunojen keskipisteiden läpi.
Dodekaedrilla on 15 symmetriatasoa. Mikä tahansa symmetriatasoista kulkee kummassakin pinnassa kärjen ja vastakkaisen reunan keskikohdan läpi.
Dodekaedrin rotaatioryhmä on merkitty isomorfiseksi ( vaihteleva asteen 5 ryhmä), kun taas täysi symmetriaryhmä on isomorfinen . $minä$ $A_{5}$ $I_{h}$ $A_{5}\times Z_{2}$

Suhde pallomaisiin tessellaatioihin

Säännöllinen dodekaedri saa aikaan myös pallon laatoituksen säännöllisillä viisikulmioilla.

Ortografinen projektio	Stereografinen projektio

Mielenkiintoisia faktoja

Ernst Haeckelin vuonna 1887 kuvaama radiolaarinen Circorrhegma dodekaedra [11] on muodoltaan lähellä dodekaedria .
Vuonna 2003 WMAP - avaruusaluksen dataa analysoitaessa esitettiin hypoteesi, jonka mukaan maailmankaikkeus on dodekaedinen Poincarén avaruus [12] [13] [14] .

Kulttuurissa

Dodekaedria käytetään satunnaislukugeneraattorina (yhdessä muiden luiden kanssa ) pöytäroolipeleissä [15] , ja sen nimi on d12 (noppaa - luut).
Pöytäkalenterit valmistetaan paperista dodekaedrin muotoon, jossa kukin kahdestatoista kuukaudesta sijaitsee yhdellä pinnasta [15] .
Pelissä Pentacore maailma esitetään tämän geometrisen hahmon muodossa .
Sonic the Hedgehog -sarjan peleissä "Sonic the Hedgehog 3" ja "Sonic & Knuckles" Chaos Emeralds näyttää dodekaedrilta .
Pelissä "Destiny" engrammit ovat dodekaedrin muotoisia .
Pelissä "Overwatch" hahmo Sigma vapauttaa 2 dodekaedria päähyökkäyksen aikana .
Nanoleaf Smart Remote Control [16] .

Katso myös

Pentagondodekaedri - epäsäännöllinen dodekaedri
rombinen dodekaedri
Rombikosidodekaedri
Dodekaedrit

Muistiinpanot

↑ Selivanov D. F. ,. Geometrinen runko // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 nidettä (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
↑ Stefano De'Stefani. Intorno un dodecaedro quasi regolare di pietra a facce pentagonali scolpite con cifre, Scorpto nelle antichissime capanne di pietra del Monte Loffa (italia) // Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti: diario. - 1885-86. - s. 1437-1459 . Katso myös tämän kohteen kuva niteen lopussa, skannaustiedoston sivulla 709
↑ Amelia Carolina Sparavigna. Etruskien dodekaedri. - arXiv : 1205.0706 .
↑ Platon . " Timeus "
↑ Eukleideen elementit. Kirja XIII. Ehdotus 17 . Haettu 1. kesäkuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 19. toukokuuta 2014. (määrätön)
↑ 1 2 Eukleideen elementtejä. Kirjat XI-XV . - M. - L .: Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustanta, 1950. - Eukleideen teoksen venäjänkielisen käännöksen lisäksi tämä painos sisältää kommenteissa käännöksen Pappuksen ehdotuksista tavallisista monitahoista.
↑ Alkuperäinen antiikin kreikankielinen teksti, rinnakkaiskäännös latinaksi : Liber III. Propos. 58 // Pappi Alexandrini Collectionis . - 1876. - T. I. - S. 156-163.
↑ Roger Herz-Fischler. Kultaisen luvun matemaattinen historia . - Courier Dover Publications , 2013. - S. 117-118.
↑ Hort V. Epätoivoisia arvoituksia. Megaminx on hankala dodekaedri // Tiede ja elämä . - 2018. - Nro 1 . - S. 104-109 . Tämä artikkeli tarjoaa muun muassa algoritmin megaminxin kokoamiseen.
↑ 1 2 3 4 Todistus: Cobb, John W. The Dodecahedron ( 2005-2007). Käyttöpäivä: 1. kesäkuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 4. maaliskuuta 2016.
↑ Taulukossa XVII , arkistoitu 7. kesäkuuta 2014 Wayback Machinella hänen radiolaaria käsittelevän monografiansa neljännen osan, se on numeroitu 2.
↑ Yleistetun Poincaren dodekaederisen avaruuden hypoteesin optimaalinen vaihe WMAP- taivaskarttojen spatiaalisen ristikorrelaatiofunktion perusteella . Käyttöpäivä: 31. lokakuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 7. joulukuuta 2013.
↑ Dodekahedraalisen avaruuden topologia selityksenä kosmisen mikroaaltouunin taustan heikkoille laajakulma-lämpötilakorrelaatioille . Käyttöpäivä: 31. lokakuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 7. joulukuuta 2013.
↑ Jeffrey Weeks. Poincare Dodecahedral -avaruus ja puuttuvien vaihteluiden mysteeri . Arkistoitu alkuperäisestä 4. marraskuuta 2012.
↑ 12 A. T. Valkoinen . Pintojen ryhmien kaaviot: vuorovaikutukset ja mallit . - Elsevier , 2001. - S. 45. - 378 s. - ISBN 0-080-50758-1 , 978-0-080-50758-3.
↑ Tuotteet » Nanoleaf Remote | USA » Kuluttajille suunnatut IoT- ja LED- älyvalaistustuotteet ? . NanoLeaf | USA . Haettu 25. marraskuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 25. marraskuuta 2021. (määrätön)

Linkit

Wikimedia Commonsissa on Tavalliseen dodekaedriin liittyvää mediaa

Dodekaedrin tähtiä
Dodekaedri (0) Pieni tähtikuvioinen dodekaedri (1) Suuri dodekaedri (2) Suuri tähtikuvioinen dodekaedri (3)

Polyhedra

oikea

Kolmiulotteinen (platoniset kiinteät aineet)	säännöllinen tetraedri Kuutio Oktaedri Dodekaedri ikosaedri
4D	Viisisoluinen tesserakti Heksadesimaalinen solu kaksikymmentäneljä solua 120 solua Kuusisataa solua
Suurempi koko (merkitty suluissa)	Tavallinen simpleksi Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaedri

Säännöllinen
ei-kupera

Kolmiulotteinen
kasvojen lukumäärän mukaan (merkitty suluissa)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraedri (4)
Pentaedri (5)
Heksaedri (6)
Heptahedron (7)
Oktaedri (8)
Enneaedri (9)
Dekaedri (10)
Endekaedri (11)
Dodekaedri (12)
Tridekaedri (13)
Tetradekaedri (14)
Pentadekaedri (15)
Heksadekaedri (16)
Heptadekaedri (17)
Oktadekaedri (18)
Enneadekaedri (19)
Ikosaedri (20)
Ikosotetraedri (24)
Triakontaedri (30)
Heksakontaedri (60)
Enneakontaedri (90)
Hektotriadioedri (132)
Apeiroedri (∞)

kupera

Archimedean kiinteät aineet

Katalonian ruumiit

Prismat
Kolmisivuinen prisma nelikulmainen prisma Viisikulmainen prisma Kuusikulmainen prisma Seitsenkulmainen prisma Kahdeksankulmainen prisma Yhdeksänkulmainen prisma Dekagonaalinen prisma 11-kulmainen prisma Kaksikulmainen prisma

Johnson polyhedra

Kaavat ,
lauseet ,
teoriat

muu

Schläfli-symboli
Monikulmiot	{yksi} {2} {3} {neljä} {5} {6} {7} {kahdeksan} {9} {kymmenen} {yksitoista} {12} {neljätoista} {viisitoista} {17} {kahdeksantoista} {kaksikymmentä} {kolmekymmentä} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
tähtipolygoneja	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Tasaiset parketit _	{3,6} {4,4} {6,3}
Tavalliset monitahoiset ja pallomaiset parketit	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsot-polyhedra	{5/2,5} {5.5/2} {5/2,3} {3,5/2}
hunajakennoja	{4,3,4}
Neliulotteinen polyhedra	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}