Hyperboli (matematiikka)

Hyperbola ( toinen kreikkalainen ὑπερβολή , sanasta ὑπερ - "ylä" + βαλειν - "heitto") on euklidisen tason pisteiden M paikka , jolle etäisyyseron ja (kutsutaan M :stä kahteen valittuun pisteeseen ) absoluuttinen arvo ) on vakio. Tarkemmin, $F_{1}$ $F_{2}$

{\bigl |}|F_{1}M|-|F_{2}M|{\bigr |}=2a,

|F_{1}F_{2}|>2a>0.

Ellipsin ja paraabelin ohella hyperbola on kartioleikkaus ja neliö . Hyperbola voidaan määritellä kartioleikkaukseksi, jonka epäkeskisyys on suurempi kuin yksi.

Historia

Termin "hyperbola" ( kreikaksi ὑπερβολή - ylimäärä) otti käyttöön Apollonius Pergalainen (n. 262 eKr . - n. 190 eKr . ), koska hyperbelin pisteen muodostamisen ongelma on pelkistetty ylimäärän levittämisen ongelmaksi.

Määritelmät

Hyperbola voidaan määritellä monella tapaa.

Kartioosa

Hyperbola voidaan määritellä joukoksi pisteitä, jotka muodostuvat kartion molemmat osat katkaisevan tason pyöreän kartion leikkauksen tuloksena. Muita kartion leikkaamisen tuloksia tasolla ovat paraabeli , ellipsi ja rappeutuneet tapaukset, kuten leikkaus- ja yhteensopivuusviivat sekä piste, jotka syntyvät leikkaustason kulkiessa kartion kärjen kautta. Erityisesti leikkaavia viivoja voidaan pitää rappeutuneena hyperbolana, joka osuu yhteen sen asymptoottien kanssa.

Pisteiden sijaintipaikkana

Temppujen kautta

Hyperbola voidaan määritellä pisteiden paikaksi , jonka absoluuttinen arvo etäisyyksissä, joista kahteen annettuun pisteeseen, jota kutsutaan polttopisteeksi, on vakio.

Vertailun vuoksi: etäisyyksien vakiosumman käyrä mistä tahansa sen pisteestä polttopisteisiin on ellipsi , vakiosuhde on Apolloniuksen ympyrä, vakiotulo on Cassinin ovaali .

Rehtori ja keskittyminen

Pisteiden paikkaa, joiden etäisyyden suhde fokukseen ja tiettyyn suoraan, nimeltään Directrix , on vakio ja suurempi kuin yksi, kutsutaan hyperboliksi. Annettua vakiota kutsutaan hyperbelin epäkeskisyydeksi . $\varepsilon >1$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Hyperbola koostuu kahdesta erillisestä käyrästä, joita kutsutaan haaroiksi .
Hyperbolan kahden lähimpänä olevan haaran pisteitä kutsutaan pisteiksi .
Lyhin etäisyys kahden hyperbolan haaran välillä on nimeltään hyperbelin pääakseli .
Pääakselin keskikohtaa kutsutaan hyperbolan keskipisteeksi .
Etäisyyttä hyperbelin keskipisteestä yhteen kärkeistä kutsutaan hyperbelin puolipääakseliksi .
- Yleensä merkitään .
Etäisyyttä hyperbolan keskustasta yhteen polttopisteeseen kutsutaan polttoväliksi .
- Yleensä merkitään c .
Hyperbolan molemmat kohdat sijaitsevat pääakselin jatkeella samalla etäisyydellä hyperbolin keskustasta. Suoraa linjaa, joka sisältää hyperbelin pääakselin, kutsutaan hyperabelin todelliseksi tai poikittaiseksi akseliksi.
Suoraa linjaa, joka on kohtisuorassa todelliseen akseliin nähden ja joka kulkee sen keskustan läpi, kutsutaan hyperbelin imaginaari- tai konjugaattiakseliksi .
Hyperbolan fokuksen ja hyperabelin välistä segmenttiä, joka on kohtisuorassa sen todellista akselia vastaan, kutsutaan polttoparametriksi .
Etäisyyttä fokuksesta hyperbelin asymptoottiin kutsutaan vaikutusparametriksi .
- Yleensä merkitään b .
Ongelmissa, jotka liittyvät kappaleiden liikkumiseen hyperbolisia lentoratoja pitkin, etäisyyttä fokuksesta lähimpään hyperbolin kärkeen kutsutaan perikeskiseksi etäisyydeksi .
- Yleensä merkitty . $r_{p}$

Suhteet

Yllä määritellyille hyperbelin ominaisuuksille on olemassa seuraavat suhteet

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2))$ .
$\varepsilon=c/a$ .
$b^{2}=a^{2}\left(\varepsilon ^{2}-1\right)$ .
$r_{p}=a\left(\varepsilon -1\right)$ .
$a={\frac {p}{\varepsilon ^{2}-1))$ .
${\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-1))))$ .
$c={\frac {p\varepsilon }{\varepsilon ^{2}-1}}$ .
$p={\frac {b^{2}}{a}}$ .

Equosceles hyperbola

Hyperbola, jossa , kutsutaan tasakylkiseksi tai tasasivuiseksi . Tasakylkinen hyperbola jossain suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä kuvataan yhtälöllä $a=b$

xy=a^{2}/2,

tässä tapauksessa hyperbelin polttopisteet sijaitsevat pisteissä ( a , a ) ja (− a , − a ). Tasasivuinen hyperboli on kaavio kaavan antamasta käänteissuhteesta

y={\frac {k}{x)),\quad k\neq 0.

Tällaisen hyperbolin epäkeskisyys on . ${\sqrt {2}}$

Cypertin hyperboli

Tasasivuinen hyperboli Kiepert-hyperbolina voidaan määrittää kolmioiden avulla kolmiulotteisissa koordinaateissa [1] pisteiden paikaksi (katso kuva): $N$

Jos kolme kolmion sivuille rakennettua kolmiota ovat samanlaisia , tasakylkisiä , joiden kantat ovat alkuperäisen kolmion sivuilla, ja sijaitsevat samalla tasolla (eli ne kaikki on rakennettu joko ulkopuolelta tai sisältä), viivoja ja leikkaa yhdessä pisteessä .

XBC

YCA

ZAB

ABC

AX

BY

CZ

N

Jos yhteinen kulma pohjassa on , niin kolmen kolmion kärjellä on seuraavat kolmiviivaiset koordinaatit: $\theta$

X{\big (}-\sin \theta :\sin(C+\theta ):\sin(B+\theta ){\big )},

Y{\big (}\sin(C+\theta ):-\sin \theta :\sin(A+\theta ){\big )},

Z{\big (}\sin(B+\theta ):\sin(A+\theta ):-\sin \theta {\big )}.

Yhtälöt

Suorakulmaiset koordinaatit

Hyperbola annetaan toisen asteen yhtälöllä suorakulmaisina koordinaatteina ( x , y ) tasossa:

A_{{xx}}x^{{2}}+2A_{{xy}}xy+A_{{yy}}y^{{2}}+2B_{{x}}x+2B_{{y}} y+C\,=\,0

jossa kertoimet A xx , A xy , A yy , B x , B y ja C täyttävät seuraavan suhteen

D={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}\\A_{xy}&A_{yy}\end{vmatrix}}<0

\Delta :={\begin{vmatrix}A_{{xx}}&A_{{xy}}&B_{{x}}\\A_{{xy}}&A_{{yy}}&B_{{y}}\\ B_{{x}}&B_{{y}}&C\end{vmatrix}}\not =0.

Kanoninen muoto

Siirtämällä hyperbolan keskustaa origoon ja kiertämällä sitä keskustan ympäri, hyperabelin yhtälö voidaan pelkistää kanoniseen muotoon:

{\frac {{x}^{{2}}}{a^{{2}}}}-{\frac {{y}^{{2}}}{b^{{2}}}}= yksi

missä on hyperbelin todellinen puoliakseli; - hyperbelin kuvitteellinen puoliakseli [2] . Tässä tapauksessa epäkeskisyys on $a$ $b$

\varepsilon ={\frac {c}{a}}={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.

Napakoordinaatit

Jos napa on hyperbelin keskipisteessä ja hyperabelin kärki on napa-akselin jatkeella, niin

r={\frac {p}{1-\varepsilon \cos \varphi }}

Jos napa on hyperbelin keskipisteessä ja napa-akseli on yhdensuuntainen jonkin asymptootin kanssa, niin

{\frac {1}{r}}={\frac {a}{b^{2}}}\left(1-\cos \theta \right)+{\frac {1}{b}}\sin \theta

Yhtälöt parametrimuodossa

Aivan kuten ellipsi voidaan esittää parametrisilla yhtälöillä, jotka sisältävät trigonometrisia funktioita, hyperbolia suorakulmaisessa koordinaatistossa, jonka keskipiste on sama kuin sen keskipiste ja x-akseli kulkee polttopisteiden kautta, voidaan esittää parametrisillä yhtälöillä, jotka sisältävät hyperbolisia funktioita [3 ] .

${\begin{cases}x=\pm a\operaattorinimi {ch} t,\\y=b\operaattorinimi {sh} t,\end{cases}}\quad -\infty <t<+\infty .$

Ensimmäisessä yhtälössä merkki "+" vastaa hyperbelin oikeaa haaraa ja "−" - sen vasenta haaraa.

Ominaisuudet

optinen ominaisuus. Valo lähteestä, joka sijaitsee yhdessä hyperbelin polttopisteistä, heijastuu hyperbolin toisesta haarasta siten, että heijastuneiden säteiden jatkot leikkaavat toisessa fokuksessa.
- Toisin sanoen, jos ja ovat hyperbelin polttopisteet, tangentti missä tahansa hyperbolin pisteessä on kulman puolittaja . $F_{1}$ $F_{2}$ $X$ $\kulma F_{1}XF_{2}$
Jokaiselle hyperbelin päällä olevalle pisteelle etäisyyden suhde tästä pisteestä tarkennuspisteeseen samasta pisteestä suuntaviivaan on vakioarvo.
Hyperbolalla on peilisymmetria todellisen ja kuvitteellisen akselin suhteen sekä pyörimissymmetria, kun sitä kierretään 180° kulmassa hyperbolan keskustan ympärillä.
Jokaisella hyperbolalla on konjugaattihyperbola , jonka reaali- ja imaginaariakselit ovat käänteisiä, mutta asymptootit pysyvät samoina. Konjugaattihyperboli ei ole tulosta alkuhyperbolin 90° kierrosta; hyperbolit eroavat muodoltaan . $a \neq b$
Tangenttisegmentti kussakin hyperbelin pisteessä, joka on suljettu hyperbolin kahden asymptootin väliin, jaetaan tangenttipisteellä puoliksi ja katkaisee kahdesta asymptootista vakiopintaisen kolmion.

Asymptootit

Asymptoottiyhtälöt kanonisessa muodossa annetulle hyperbolille

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

tulostetaan seuraavasti. Anna . Oletetaan, että asymptootti on olemassa ja sillä on muoto . Sitten $x,y>0$ $y=kx+l$

k=\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac ({\frac {b }{a}}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{x}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {b}{a}}\ vasen({\sqrt {a^{2}+x^{2}}}-x\right)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {b}{a}}\left({ \sqrt {{\frac {a^{2}}{x^{2}}}+1}}\right)={\frac {b}{a}}),

l=\lim _{x\to +\infty }\left(f(x)-kx\right)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {b}{a)) \left({\sqrt {a^{2}+x^{2}}}-x\right)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {b}{a}}\cdot { \frac {a^{2}}{{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}+x}}=0.

Siten kahden asymptootin yhtälöt ovat:

$y=\pm {\frac {b}{a}}x$

tai

{\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0.

Halkaisijat ja sointeet

Hyperbolin halkaisija , kuten minkä tahansa kartioleikkauksen, on suora viiva, joka kulkee yhdensuuntaisten jänteiden keskipisteiden läpi. Jokaisella yhdensuuntaisten jänteiden suunnalla on oma konjugaattihalkaisijansa. Kaikki hyperbolin halkaisijat kulkevat sen keskustan läpi. Kuvitteellisen akselin suuntaisia jänteitä vastaava halkaisija on todellinen akseli; reaaliakselin suuntaisia jänteitä vastaava halkaisija on kuvitteellinen akseli.

Yhdensuuntaisten jänteiden kaltevuus ja vastaavan halkaisijan kaltevuus liittyvät toisiinsa suhteella $k$ $k_{1}$

k\cdot k_{1}=\varepsilon ^{2}-1={\frac {b^{2}}{a^{2}}}.

Jos halkaisija a puolittaa jänteet, jotka ovat samansuuntaisia halkaisijan b kanssa, niin halkaisija b puolittaa jänteet, jotka ovat samansuuntaisia halkaisijan a kanssa . Tällaisia halkaisijoita kutsutaan keskenään konjugaateiksi . Päähalkaisijoita kutsutaan keskenään konjugaateiksi ja keskenään kohtisuoraksi halkaisijaksi. Hyperbolalla on vain yksi päähalkaisijapari, reaali- ja kuvitteellinen akseli.

Tangentti ja normaali

Koska hyperbola on tasainen käyrä, sen jokaiseen pisteeseen ( x 0 , y 0 ) voidaan piirtää tangentti ja normaali . Kanonisen yhtälön antama hyperbolan tangentin yhtälö on:

{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1

tai mikä on sama,

y=y_{0}+{\frac {b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}}\left(x-x_{0}\right)

Tangenttiyhtälön johtaminen
Mielivaltaisen tasaisen viivan tangenttiyhtälöllä on muoto $y-y_{0}=y'\left(x_{0},y_{0}\right)\cdot \left(x-x_{0}\right)$ Hyperbolin kanoninen yhtälö voidaan esittää funktioparina $y=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}$ . Sitten näiden funktioiden derivaatalla on muoto $y'=\pm {\frac {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2} }}x^{2}-b^{2}}}}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x}{y}}$ . Korvaamalla tämän yhtälön yleisen tangenttiyhtälön saamme $y-y_{0}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}\left(x-x_{0} \oikea)$ ${\frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}={\frac {x_{0}^{2}}{ a^{2}}}-{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1$

Tangenttiyhtälön johtaminen

Mielivaltaisen tasaisen viivan tangenttiyhtälöllä on muoto

y-y_{0}=y'\left(x_{0},y_{0}\right)\cdot \left(x-x_{0}\right)

Hyperbolin kanoninen yhtälö voidaan esittää funktioparina

y=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}

Sitten näiden funktioiden derivaatalla on muoto

y'=\pm {\frac {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2} }}x^{2}-b^{2}}}}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x}{y}}

Korvaamalla tämän yhtälön yleisen tangenttiyhtälön saamme

y-y_{0}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}\left(x-x_{0} \oikea)

{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}={\frac {x_{0}^{2}}{ a^{2}}}-{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1

Normaalin yhtälöllä hyperbolaan on muoto:

y=y_{0}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}{\frac {y_{0}}{x_{0}}}\left(x-x_{0} \oikea)

Normaaliyhtälön johtaminen
Mielivaltaisen tasaisen suoran normaalin yhtälöllä on muoto $y-y_{0}={\frac {1}{y'\left(x_{0},y_{0}\right)}}\left(x_{0}-x\right)$ . Hyperbolin kanoninen yhtälö voidaan esittää funktioparina $y=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}$ . Sitten näiden funktioiden derivaatalla on muoto $y'=\pm {\frac {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2} }}x^{2}-b^{2}}}}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x}{y}}$ . Korvaamalla tämän yhtälön normaalin yleisen yhtälön saamme $y-y_{0}=-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}{\frac {y_{0}}{x_{0}}}\left(x-x_{0 }\oikea)$ .

Normaaliyhtälön johtaminen

Mielivaltaisen tasaisen suoran normaalin yhtälöllä on muoto

y-y_{0}={\frac {1}{y'\left(x_{0},y_{0}\right)}}\left(x_{0}-x\right)

Hyperbolin kanoninen yhtälö voidaan esittää funktioparina

y=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}

Sitten näiden funktioiden derivaatalla on muoto

y'=\pm {\frac {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2} }}x^{2}-b^{2}}}}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x}{y}}

Korvaamalla tämän yhtälön normaalin yleisen yhtälön saamme

y-y_{0}=-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}{\frac {y_{0}}{x_{0}}}\left(x-x_{0 }\oikea)

Kaarevuus ja evoluutio

Hyperbolin kaarevuus kussakin sen pisteessä ( x , y ) määritetään lausekkeesta:

K={\frac {ab}{\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}+{\frac {b^{2}}{a^{ 2}}}x^{2}\oikea)^{{3/2}}}}

Näin ollen kaarevuussäteen muoto on:

R={\frac 1K}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}+{\frac {b^{2}}{ a^{2}}}x^{2}\oikea)^{{3/2}}}{ab}}

Erityisesti pisteessä ( a , 0 ) kaarevuussäde on

R\left(a,0\right)={\frac {b^{2}}{a}}=p

Kaarevuussäteen kaavan johtaminen
Parameettisesti annettu tasaisen viivan kaarevuussäteen kaava on: $R_{c}={\frac {\left(x'^{2}\ +y'^{2}\right)^{{3/2))}{\left\|x'y''-x' 'y'\right\|}}$ . Käytämme hyperbelin parametrista esitystä: ${\begin{cases}x=a\cdot {\mathrm {ch}}\,(t)\\y=b\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)\end{cases}}$ Tällöin x :n ja y :n ensimmäisellä derivaatalla t :n suhteen on muoto ${\begin{cases}x'=a\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)={\frac {a}{b}}y\\y'=b\cdot {\mathrm {ch} }\,(t)={\frac {b}{a}}x\end{cases}}$ , ja toinen derivaatta on ${\begin{cases}x''=a\cdot {\mathrm {ch}}\,(t)=x\\y''=b\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)=y \end{cases}}$ Korvaamalla nämä arvot kaarevuuden kaavaan, saamme: $R_{c}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}\ +{\frac {b^{2}}{a^ {2}}}x^{2}\oikea)^{{3/2}}}{\left\|a{\frac {y^{2}}{b}}-b{\frac {x^{ 2}}{a}}\right\|}}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}\ +{\frac {b ^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right)^{{3/2}}}{ab\left\|{\frac {y^{2}}{b}}- {\frac {x^{2}}{a}}\right\|}}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} \ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\oikea)^{{3/2}}}{ab}}$ .

Kaarevuussäteen kaavan johtaminen

Parameettisesti annettu tasaisen viivan kaarevuussäteen kaava on:

R_{c}={\frac {\left(x'^{2}\ +y'^{2}\right)^{{3/2))}{\left|x'y''-x' 'y'\right|}}

Käytämme hyperbelin parametrista esitystä:

{\begin{cases}x=a\cdot {\mathrm {ch}}\,(t)\\y=b\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)\end{cases}}

Tällöin x :n ja y :n ensimmäisellä derivaatalla t :n suhteen on muoto

{\begin{cases}x'=a\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)={\frac {a}{b}}y\\y'=b\cdot {\mathrm {ch} }\,(t)={\frac {b}{a}}x\end{cases}}

ja toinen derivaatta on

{\begin{cases}x''=a\cdot {\mathrm {ch}}\,(t)=x\\y''=b\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)=y \end{cases}}

Korvaamalla nämä arvot kaarevuuden kaavaan, saamme:

R_{c}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}\ +{\frac {b^{2}}{a^ {2}}}x^{2}\oikea)^{{3/2}}}{\left|a{\frac {y^{2}}{b}}-b{\frac {x^{ 2}}{a}}\right|}}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}\ +{\frac {b ^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right)^{{3/2}}}{ab\left|{\frac {y^{2}}{b}}- {\frac {x^{2}}{a}}\right|}}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} \ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\oikea)^{{3/2}}}{ab}}

Kaarevuuskeskipisteiden koordinaatit saadaan yhtälöparilla:

{\begin{cases}x_{c}={\frac {x^{3}}{a^{2}}}\left(1+{\frac {b^{2}}{a^{2} }}\right)\\y_{c}=-{\frac {y^{3}}{b^{2}}}\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{ 2}}}\oikea)\loppu{tapaukset}}

Korvaamalla viimeiseen yhtälöjärjestelmään x :n ja y :n sijaan niiden arvot hyperabelin parametrisesta esityksestä, saadaan yhtälöpari, joka määrittää uuden käyrän, joka koostuu hyperabelin kaarevuuskeskuksista. Tätä käyrää kutsutaan hyperbelin evoluutioksi .

{\begin{cases}x=\pm a\,{\mathrm {ch))^{3}\,t\left(1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}} \right)\\y=b\,{\mathrm {sh}}^{3}\,t\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\oikea) \end{cases}}

Yleistys

Hyperbola on sinimuotoinen spiraali kohdassa . ${\näyttötyyli n=-2}$

Sovellus

Konfokaalisten ( konfokaalisten ) hyperbolien perhe muodostaa yhdessä konfokaalisten ellipsien perheen kanssa kaksiulotteisen elliptisen koordinaattijärjestelmän .

Muita hyperbolien avulla rakennettuja ortogonaalisia kaksiulotteisia koordinaattijärjestelmiä voidaan saada käyttämällä muita konformaalisia muunnoksia. Esimerkiksi muunnos w = z² kartoittaa suorakulmaiset koordinaatit kahteen ortogonaalisten hyperbolien perheeseen.

Kääntämällä hyperbola, jonka keskus on omassa keskustassaan, fokuksessa tai kärjessä, voidaan saada vastaavasti Bernoullin lemniskaatti , Pascalin etana tai strophoid .

Hyperbolat näkyvät monissa aurinkokelloissa . Kaikkina vuodenpäivinä Aurinko kuvaa ympyrää taivaanpallolla ja sen aurinkokellon gnomonin päälle putoavat säteet kuvaavat valokartiota . Tämän kartion leikkausviiva vaaka- tai pystysuoran aurinkokellon tason kanssa on kartiomainen leikkaus . Asutuimmilla leveysasteilla ja suurimman osan vuodesta tämä kartiomainen leikkaus on hyperbola. Aurinkokellot näyttävät usein varjon kuvaamia viivoja gnomonin huipulta päivän aikana useana päivänä vuodesta (esimerkiksi kesä- ja talvipäivänseisauksen päivinä ), joten niissä näkyy usein tiettyjä hyperboleja, joiden ulkonäkö on erilainen. vuoden eri päiville ja eri leveysasteille.

AMS , joka voittaa siihen vaikuttavan pääkappaleen vetovoiman ja lentää kauas siitä, ilman häiriöitä, tulisi liikkua hyperbolista tai parabolista lentorataa pitkin , koska tässä tapauksessa on teoriassa mahdollista siirtyä pois tästä kehosta äärettömyyteen [4] . Erityisesti AMS " Voyager-1 " ja AMS " Voyager-2 " ovat hyperbolisia aurinkoon nähden, ja niiden epäkeskisyydet ovat 3,7 ja 6,3 ja puolipääakselit 480,9 miljoonaa km ja 601,1 miljoonaa km . ] [6] . Aurinkokunnan taivaankappaleen hyperbolinen liikerata voi viitata sen tähtienväliseen alkuperään. 2010-luvun lopulla löydettiin ensimmäinen tähtienvälinen asteroidi ja ensimmäinen tähtienvälinen komeetta [7] , joiden liikeradat ovat hyperbolisia. Aikaisemmin tunnetuista komeetoista , joiden hyperbolinen liikerata on pieni epäkeskisyys, tulee kuitenkin vain tähtienvälisiä: kokeneet häiriötä Jupiterin kaltaisesta planeetalta "elämänsä" aurinkokunnassa , ne putoavat tähtienväliselle kurssille [8] .

Katso myös

Hyperboloidi
Kolmion ympärille piirretyt hyperbelit
Kaustinen
Kartioprofiilit
Toisen järjestyksen käyrä
Ympyrä
Paraabeli
Ellipsi
Kahden pisteen välisten etäisyyksien vakiosumman käyrä on ellipsi ,
Kahden pisteen välisten etäisyyksien vakioeron käyrä on hyperbola,
Vakiosuhteen käyrä on Apolloniuksen ympyrä ,
Vakiotulon käyrä on Cassinin soikea .
Tasoitettu kahdeksankulmio § Rakenne

Muistiinpanot

↑ Eddy, RH ja Fritsch, R. Ludwig Kiepertin kartiot: Kolmion geometrian kattava oppitunti. Matematiikka. Mag. 67, s. 188-205, 1994.
↑ Schneider V.E. Lyhyt korkeamman matematiikan kurssi . - Ripol Classic. — ISBN 9785458255349 .
↑ Pogorelov A.V. Geometria . - M .: Nauka , 1983. - S. 15-16 . — 288 s.
↑ Sikharulidze Yu. G. Lentokoneiden ballistiikka. - M .: Nauka , 1982. - S. 162-163. - 5750 kappaletta.
↑ Voyager - Hyperbolic Orbital Elements . NASA . Haettu 29. lokakuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 6. toukokuuta 2021. (määrätön)
↑ Ulivi P., Harland DM Robotic Exploration of the Solar System. Osa I: Kulta-aika 1957-1982 . - Springer, Praxis, 2007. - S. 441. - ISBN 978-0-387-49326-8 . Sisältää Voyager 2 : n kiertoradan epäkeskisyyden suhteessa aurinkoon Neptunuksen ohituksen jälkeen .
↑ Uuden tähtienvälisen vierailijan nimeäminen: 2I/Borisov . MAC (24. syyskuuta 2019). Haettu 24. syyskuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 23. huhtikuuta 2020. (määrätön)
↑ Carl Sagan , Ann Druyan. komeetta . - New York: Ballantine Books, 1997. - S. 104. - ISBN 0-345-41222-2 .

Kirjallisuus

Bronstein I. Hyperbole // Kvant . - 1975. - Nro 3 .
Grave D. A. Hyperbolas // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 osassa (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
Matemaattinen tietosanakirja (5 osaa). M.: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982.
Markushevich AI Merkittävät käyrät // Suosittuja luentoja matematiikasta . - Gostekhizdat, 1952. - Numero. 4 . Arkistoitu alkuperäisestä 14. syyskuuta 2008.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri Neuvostoliitto (1 painos) Brockhaus ja Efron Britannica (11.) Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4161034-9 NKC : ph973163

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
muu	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

muu

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
muu	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto

Kartioprofiilit
Päätyypit	Ellipsi Hyperbeli Paraabeli
Degeneroitunut	Piste Suoraan Pari suoraa viivaa
Ellipsin erikoistapaus	Ympyrä
Geometrinen rakenne	kartiomainen leikkaus Dandelin palloja Steinerin suunnittelu
Katso myös	Kartiomainen vakio
Matematiikka • Geometria