Archimedean ruumis
Archimedean solid (tai Archimedean polyhedron ) on kupera monitahoinen , jossa on kaksi tai useampia säännöllisiä monikulmioita pinnoina identtisten pisteiden vieressä . Tässä "identtiset kärjet" tarkoittaa, että millä tahansa kahdella pisteellä on koko kappaleen isometria, joka vie yhden kärjen toiseen.
Arkhimedoksen solidit eroavat platonisista solideista ( säännölliset polyhedrat ), jotka koostuvat vain yhden tyyppisestä monikulmiosta samoissa huipuissa, ja Johnsonin monikulmioista, joiden säännölliset monikulmiopinnat kuuluvat erityyppisiin kärkikohtiin.
Joskus vaaditaan vain, että yhden kärjen vieressä olevat pinnat ovat isometrisiä toisen kärjen pintojen suhteen. Tämä ero määritelmissä ratkaisee sen, pidetäänkö pitkänomaista nelikulmaista gyrobikupolia (pseudorrombikuboktaedria) Arkhimedeen kiinteänä kappaleena vai Johnson-polyhedronina - se on ainoa kupera monitahoinen, jossa monikulmiopinnat liittyvät kärkeen samalla tavalla jokaisessa kärjessä, mutta monitahoinen niillä ei ole globaalia symmetriaa, joka vie minkä tahansa kärjen johonkin toiseen. Perustuen pseudorombicuboktaedrin olemassaoloon, Grünbaum [1] ehdotti terminologista eroa, jossa Arkhimedeen kappale määritellään siten, että sillä on sama pistekuvio jokaisessa kärjessä (mukaan lukien pitkänomainen nelikulmainen gyrobikupoli), kun taas yhtenäisellä polyhedronilla on mikä tahansa kärki. on symmetrinen mille tahansa muulle (joka ei sisällä gyrobicupolista ).
Prismoja ja antiprismoja , joiden symmetriaryhmät ovat dihedraalisia ryhmiä , ei yleensä pidetä Arkhimedoksen kiinteinä aineina, vaikka ne kuuluvat yllä annettuun määritelmään. Tällä rajoituksella on vain rajallinen määrä Arkhimedeen kiinteitä aineita. , voidaan saada Wytoffin rakenteilla platonisista kiinteistä aineista käyttämällä tetraedris- , oktaedri- ja ikosaedrisymmetrioita .
Nimen lähde
Arkhimedeen ruumiit on nimetty Arkhimedeksen mukaan, joka käsitteli niitä nyt kadonneessa teoksessa. Papp viittaa tähän työhön ja toteaa, että Archimedes listasi 13 monitahoista [1] . Renessanssin aikana taiteilijat ja matemaatikot arvostivat puhtaita muotoja ja löysivät ne kaikki uudelleen. Nämä tutkimukset valmistui lähes kokonaan vuonna 1620 Johannes Keplerin toimesta [2] , joka määritteli prismat , antiprismat ja ei-kuperat kappaleet, jotka tunnetaan Kepler-Poinsot-kappaleina .
Kepler saattoi löytää myös pitkänomaisen neliömäisen gyrobikupolin (pseudorhombuboctahedron ) - ainakin hän väitti, että siellä oli 14 Archimedean kiintoainetta. Hänen julkaistuihin luetteloihinsa sisältyy kuitenkin vain 13 yhtenäistä polyhedraa, ja ensimmäisen selkeän lausunnon pseudorombicosahedronin olemassaolosta antoi vuonna 1905 Duncan Somerville [1] .
Luokitus
Arkhimedeslaisia kiinteitä aineita on 13 (lukuun ottamatta pitkänomaista nelikulmaista gyrobikupolia ; 15, jos otetaan huomioon kahden enantiomorfin peilikuvat , jotka on lueteltu erikseen alla).
Tässä vertex-konfiguraatio viittaa säännöllisten monikulmioiden tyyppeihin, jotka ovat kärjen vieressä. Esimerkiksi kärkikonfiguraatio ( 4,6,8 ) tarkoittaa, että neliö , kuusikulmio ja kahdeksankulmio kohtaavat kärjessä (luettelojärjestys otetaan kärjestä myötäpäivään).
| Otsikko (Vaihtoehtoinen otsikko) |
Schläfli Coxeter |
Läpinäkyvä | Läpinäkymätön | Skannata | Vertex figuuri |
kasvot | kylkiluut | Huiput | Äänenvoimakkuus (yhdellä reunalla) |
Pisteryhmä _ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| katkaistu tetraedri | {3,3}  
|
( kierto ) |
3.6.6 |
kahdeksan | 4 kolmiota 4 kuusikulmiota |
kahdeksantoista | 12 | 2,710576 | T d | ||
| Kuuboktaedri (rombotetraedri) |
r{4,3} tai rr{3,3} tai
|
( kierto ) |
3.4.3.4 |
neljätoista | 8 kolmiota 6 neliötä |
24 | 12 | 2,357023 | O h | ||
| katkaistu kuutio | t{4,3}
|
( kierto ) |
3.8.8 |
neljätoista | 8 kolmiota 6 kahdeksankulmiota |
36 | 24 | 13,599663 | O h | ||
| Katkaistu oktaedri (katkaistu tetrateraedri) |
t{3,4} tai tr{3,3}tai
|
( kierto ) |
4.6.6 |
neljätoista | 6 neliötä 8 kuusikulmiota |
36 | 24 | 11.313709 | O h | ||
| Rhombicuboctahedron (pieni rombikubotaedri) |
rr{4,3}
|
( kierto ) |
3.4.4.4 |
26 | 8 kolmiota 18 ruutua |
48 | 24 | 8.714045 | O h | ||
| Katkaistu kuuboktaedri (suuri rombikuboktaedri) |
tr{4,3}
|
( kierto ) |
4.6.8 |
26 | 12 neliötä 8 kuusikulmiota 6 kahdeksankulmaista |
72 | 48 | 41.798990 | O h | ||
| Snub- kuutio (snub cuboctahedron) |
sr{4,3}
|
( kierto ) |
3.3.3.3.4 |
38 | 32 kolmiota 6 neliötä |
60 | 24 | 7,889295 | O | ||
| ikosidodekaedri | r{5,3}
|
( kierto ) |
3.5.3.5 |
32 | 20 kolmiota 12 viisikulmiota |
60 | kolmekymmentä | 13,835526 | I h | ||
| katkaistu dodekaedri | t{5,3}
|
( kierto ) |
3.10.10 |
32 | 20 kolmiota 12 kymmenkulmiota |
90 | 60 | 85.039665 | I h | ||
| Katkaistu ikosaedri | t{3,5}
|
( kierto ) |
5.6.6 |
32 | 12 viisikulmiota 20 kuusikulmiota |
90 | 60 | 55,287731 | I h | ||
| Rombikosidodekaedri (pieni rombikosidodekaedri) |
rr{5,3}
|
( kierto ) |
3.4.5.4 |
62 | 20 kolmiota 30 neliötä 12 viisikulmiota |
120 | 60 | 41.615324 | I h | ||
| Rombotypistetty ikosidodekaedri | tr{5,3}
|
( kierto ) |
4.6.10 |
62 | 30 ruutua 20 kuusikulmiota 12 dekagonia |
180 | 120 | 206.803399 | I h | ||
| Snub dodekaedri (snub icosidodecahedron) |
sr{5,3}
|
( kierto ) |
3.3.3.3.5 |
92 | 80 kolmiota 12 viisikulmiota |
150 | 60 | 37,616650 | minä | ||
Joihinkin puolisäännöllisten polyhedrien määritelmiin sisältyy toinen kiinteä, pitkänomainen nelikulmainen gyrobicupole tai "pseudo-rombicuboctahedron" [3] .
Ominaisuudet
Piikkien lukumäärä on yhtä suuri kuin 720°:n suhde kärjessä olevaan kulmavirheeseen .
Kuuboktaedri ja ikosidodekaedri ovat reunahomogeenisiä [ ja niitä kutsutaan kvasisäännöllisiksi .
Arkhimedeen kiintoaineiden kaksoispolyhedrat kutsutaan katalaanikiintoiksi . Yhdessä bipyramidien ja puolisuunnikkaan kanssa ne ovat kasvoiltaan yhtenäisiä kappaleita, joilla on säännölliset kärjet.
Kiraalisuus
Snub- kuutio ja snub-dodekaedri ovat kiraalisia , koska ne esiintyvät vasen- ja oikeakätisinä muunnelmina. Jos jollakin on useita erilaisia, jotka ovat kolmiulotteisia peilikuvia toisistaan, näitä muotoja kutsutaan enantiomorfeiksi (tätä nimeä käytetään myös joissakin kemiallisten yhdisteiden muodoissa ).
Archimedean kiintoaineiden rakentaminen
Erilaiset Archimedean ja Platonin kiinteät aineet voidaan johtaa toisistaan kourallinen operaatioita. Platonisista solideista alkaen voit käyttää kulman katkaisutoimintoa . Symmetrian säilyttämiseksi katkaisu tehdään tasolla, joka on kohtisuorassa kulman monikulmion keskipisteeseen yhdistävään suoraan nähden. Riippuen siitä, kuinka syvälle katkaisu suoritetaan (katso alla oleva taulukko), saamme erilaisia platonisia ja arkimedelaisia (ja muita) kiinteitä aineita. Venyttely tai viisto tehdään siirtämällä pintaa (suunnassa) poispäin keskustasta (sama etäisyys symmetrian säilyttämiseksi) ja luomalla sitten kupera runko. Laajentaminen pyörityksellä suoritetaan myös pyörittämällä kasvoja, mikä rikkoo reunojen kohdissa näkyvät suorakulmiot kolmioiksi. Viimeinen tässä esittämämme rakenne on sekä kulmien että reunojen katkaisu. Jos skaalaus jätetään huomiotta, laajennus voidaan ajatella myös kulman ja reunan katkaisuksi, mutta kulman ja reunan katkaisun välillä on erityinen suhde.
| Symmetria | tetraedrinen |
Octahedral |
ikosaedrinen | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Vartalon ensimmäinen leikkaus |
Merkki {p, q}  
|
Tetraedri {3,3} |
Kuutio {4,3} |
Oktaedri {3,4} |
Dodekaedri {5,3} |
Ikosaedri {3,5} |
| Katkaisu (t) | t{p, q}
|
katkaistu tetraedri |
katkaistu kuutio |
katkaistu oktaedri |
katkaistu dodekaedri |
Katkaistu ikosaedri |
| Täydellinen katkaisu (r) Saarnatuoli (a) |
r{p, q}
|
tetratetraedri |
Cuboctahedron |
ikosidodekaedri | ||
| Syvä katkaisu (2t) (dk) |
2t{p, q}
|
katkaistu tetraedri |
katkaistu oktaedri |
katkaistu kuutio |
katkaistu ikosaedri |
katkaistu dodekaedri |
| Kaksinkertainen täysi katkaisu (2r) Kaksois (d) |
2r{p, q}
|
tetraedri |
oktaedri |
kuutio |
ikosaedri |
dodekaedri |
| Viistys (rr) venytys (e) |
rr{p, q}
|
Cuboctahedron |
Rombikuboktaedri |
rombikosidodekaedri | ||
| Snub-oikaisu (sr) Oikaisu (s) |
sr{p, q}
|
snub tetrahedron |
snub-kuutio |
snub icosidodekahedron | ||
| bevel-truncation (tr) Viiste (b) |
tr{p, q}
|
katkaistu oktaedri |
Katkaistu kuutioktaedri |
Rombotypistetty ikosidodekaedri | ||
Huomaa kaksinaisuus kuution ja oktaedrin sekä dodekaedrin ja ikosaedrin välillä. Lisäksi osittain tetraedrin itsekaksoisisuudesta johtuen vain yhdellä Arkhimedeen kiinteällä aineella on vain yksi tetraedrisymmetria.
Katso myös
- Ajoittainen laatoitus
- Arkhimedes kreivi
- Luettelo yhtenäisistä polyhedraista
- Toroidinen monitahoinen
- Kvasikide
- Puolisäännöllinen monitahoinen
- säännöllinen monitahoinen
- Tasainen monitahoinen
- Icosohedral twin
Muistiinpanot
- ↑ 1 2 3 Grünbaum, 2009 .
- ↑ Field, 1997 , s. 241-289.
- ↑ Malkevitch, 1988 , s. 85.
Kirjallisuus
- Field J. Arkhimedeen polyhedran uudelleen löytäminen: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro ja Johannes Kepler // Tarkkojen tieteiden historian arkisto. - Springer, 1997. - Voi. 50, ei. 3-4. — ISSN 0003-9519 .
- Grunbaum, Branko. Pysyvä virhe // Elemente der Mathematik. - 2009. - Vol. 64, nro. 3. - s. 89-101. - doi : 10.4171/EM/120 . . Uusintapainos matematiikan parhaassa kirjoituksessa 2010 / Mircea Pitici. — Princeton University Press, 2011. — s . 18–31 .
- Malkevitsh, Joseph. . Avaruuden muotoilu: monitahoinen lähestymistapa / M. Senechal, G. Fleck. - Boston: Birkhäuser, 1988. - P. 80–92.
- Pugh, Anthony. . Polyhedra: Visuaalinen lähestymistapa. - Kalifornia: University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7 . kappale 2
- Udaya, Jayatilake. Laskelmat kasvojen ja kärjen säännöllisestä monitahoisesta // Mathematical Gazette. - 2005. - Voi. 89, nro. 514.—s. 76–81.
- Williams, Robert. . Luonnonrakenteen geometrinen perusta: suunnittelun lähdekirja . - Dover Publications, Inc., 1979. - ISBN 0-486-23729-X . (osio 3-9)
Linkit
- Weisstein, Eric W. Archimedean solid (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
- Archimedean Solids Arkistoitu 20. helmikuuta 2016 Wayback Machinessa , kirjoittanut Eric W. Weisstein , Wolfram Demonstrations Project .
- Paperimallit Archimedean Solidista ja Catalan Solidista Arkistoitu 20. helmikuuta 2016 Wayback Machinessa
- Ilmaiset paperimallit (verkot) Archimedean kiintoaineista Arkistoitu 6. helmikuuta 2016 Wayback Machinessa
- Uniform Polyhedra Arkistoitu 11. helmikuuta 2008 Wayback Machinessa , kirjoittanut Dr. R. Mader
- Virtual Reality Polyhedra Arkistoitu 23. helmikuuta 2008 the Wayback Machine , The Encyclopedia of Polyhedra by George W. Hart
- Toiseksi viimeinen modulaarinen origami arkistoitu 15. heinäkuuta 2010 Wayback Machinessa , kirjoittanut James S. Plank
- Interaktiivinen 3D-polyhedra Java-kielellä
- Solid Body Viewer (linkki ei saatavilla) Interaktiivinen 3D-polyhedron-katseluohjelma, jonka avulla voit tallentaa mallin svg-, stl- tai obj-muodossa.
- Stella: Polyhedron Navigator Arkistoitu 9. heinäkuuta 2010 Wayback Machinessa : Kuvanluontiohjelmisto, joista monet ovat esillä tällä sivulla.
- Archimedean (ja muiden) Polyhedran paperimallit Arkistoitu 25. tammikuuta 2021 Wayback Machinessa