Reuleaux'n kolmio

Reuleaux'n kolmio [* 1] on kolmen yhtä suuren ympyrän leikkausalue, joiden keskipisteet ovat säännöllisen kolmion kärjessä ja säteet ovat yhtä suuria kuin sen sivu [1] [2] . Tätä kuviota rajoittavaa epätasaista suljettua käyrää kutsutaan myös Reuleaux'n kolmioksi.

Reuleaux'n kolmio on yksinkertaisin vakioleveä luku ympyrän jälkeen [1] . Toisin sanoen, jos Reuleaux'n kolmioon vedetään rinnakkaisten vertailuviivojen pari [* 2] , niin niiden välinen etäisyys ei riipu valitusta suunnasta [3] . Tätä etäisyyttä kutsutaan Reuleaux'n kolmion leveydeksi .

Muiden vakioleveisten kuvioiden joukossa Reuleaux'n kolmio erottuu useista äärimmäisistä ominaisuuksista: pienin pinta-ala [1] , pienin mahdollinen kulma kärjessä [4] , pienin symmetria keskustan suhteen [5] . Kolmiosta on tullut laajalle levinnyt tekniikka - siihen perustuvat nokka- ja simpukkamekanismit , Wankel-pyörivä mäntämoottori ja jopa porat, jotka mahdollistavat neliömäisten reikien poraamisen ( jyrsimisen ) [6] .

Figuurin nimi tulee saksalaisen mekaanikon Franz Rehlon sukunimestä . Hän oli luultavasti ensimmäinen, joka tutki tämän niin kutsutun kaarevan kolmion ominaisuuksia; hän käytti sitä myös mekanismeissaan [7] .

Historia

Reuleaux ei ole tämän hahmon löytäjä, vaikka hän tutki sitä yksityiskohtaisesti. Erityisesti hän pohti kysymystä siitä, kuinka monta kontaktia ( kinemaattisina pareina ) tarvitaan litteän hahmon liikkeen estämiseksi, ja osoitti neliöön piirretyn kaarevan kolmion esimerkin avulla , että edes kolme kosketusta ei välttämättä riitä. estääksesi hahmon pyörimisen [8] .

Jotkut matemaatikot uskovat, että Leonhard Euler esitti ensimmäisenä ajatuksen yhtäläisten ympyränkaarien kolmiosta 1700-luvulla [9] . Siitä huolimatta samanlainen hahmo löytyy aiemmin, 1400-luvulta: Leonardo da Vinci käytti sitä käsikirjoituksissaan . Reuleaux'n kolmio on hänen käsikirjoituksissaan A ja B, joita säilytetään Institut de Francessa [10] , sekä Codex Madridissa [9] .

Noin 1514 Leonardo da Vinci loi yhden ensimmäisistä maailmankartoista laatuaan . Maapallon pinta jaettiin päiväntasaajalla ja kahdella meridiaanilla (näiden meridiaanien tasojen välinen kulma on 90°) kahdeksaksi pallomaiseksi kolmioksi , jotka on esitetty kartan tasossa Reuleaux'n kolmioilla, jotka on kerätty neljän ympärille . pylväät [11] .

Jo aikaisemmin, 1200-luvulla, Bruggen Neitsyt Marian kirkon luojat käyttivät Reuleaux'n kolmiota joidenkin ikkunoiden muotona [9] .

Ominaisuudet

Reuleaux'n kolmio on tasainen kupera geometrinen kuvio [12] .

Geometriset perusominaisuudet

Jos Reuleaux'n kolmion leveys on , niin sen pinta- ala on [13] $a$

S={{1} \over {2}}\left(\pi -{\sqrt {3}}\right)\cdot a^{2},

ympärysmitta

p=\pi a,

piirretty ympyrän säde

r=\left(1-{{1} \over {{\sqrt {3))))\right)\cdot a,

ja rajatun ympyrän säde

R={{a} \yli {{\sqrt {3}}}}

. Symmetria

Reuleaux'n kolmiolla on aksiaalinen symmetria . Siinä on kolme toisen asteen symmetria-akselia, joista jokainen kulkee kolmion kärjen ja vastakkaisen kaaren keskikohdan läpi, sekä yksi kolmannen asteen symmetria-akseli, joka on kohtisuorassa kolmion tasoon nähden ja kulkee sen keskustan kautta [* 3] . Siten Reuleaux'n kolmion symmetriaryhmä koostuu kuudesta kuvauksesta (mukaan lukien identiteetti ) ja on sama kuin säännöllisen kolmion symmetriaryhmä . $D_{3}$

Rakentaminen kompassilla

Reuleaux'n kolmio voidaan rakentaa pelkällä kompassilla ilman viivaimen käyttämistä . Tämä rakenne on pelkistetty kolmen yhtä suuren ympyrän peräkkäiseen piirtämiseen . Ensimmäisen keskipiste valitaan mielivaltaisesti, toisen keskipiste voi olla mikä tahansa ensimmäisen ympyrän piste ja kolmannen keskipiste voi olla mikä tahansa kahden ensimmäisen ympyrän kahdesta leikkauspisteestä.

Ominaisuudet, jotka ovat yhteisiä kaikille vakioleveyden muodoille

Koska Reuleaux'n kolmio on vakioleveä luku, sillä on kaikki tämän luokan kuvioiden yleiset ominaisuudet. Erityisesti,

Reuleaux'n kolmiolla on jokaisella tukiviivallaan vain yksi yhteinen piste [14] ;
leveän Reuleaux'n kolmion minkä tahansa kahden pisteen välinen etäisyys ei saa ylittää [15] ; $a$ $a$
jana, joka yhdistää kahden rinnakkaisen vertailulinjan kosketuspisteet Reuleaux'n kolmioon, on kohtisuorassa näihin viiteviivoihin nähden [16] ;
minkä tahansa Reuleaux'n kolmion rajan pisteen kautta kulkee vähintään yksi vertailuviiva [17] ;
Reuleaux'n kolmion rajan jokaisen pisteen läpi kulkee ympäröivä ympyrä, jonka säde on [* 4] , ja Reuleaux'n kolmioon piirretty vertailuviiva pisteen läpi on tämän ympyrän tangentti [18] ; $P$ $a$ $P$
ympyrän säde, jolla on vähintään kolme yhteistä pistettä Reuleaux'n kolmion leveyden rajan kanssa, ei ylitä [19] ; $a$ $a$
Hanfried Lenzin lauseen mukaan vakioleveysjoukoista Reuleaux'n kolmiota ei voida jakaa kahteen hahmoon, joiden halkaisija olisi pienempi kuin itse kolmion leveys [20] [21] ;
Reuleaux'n kolmio, kuten mikä tahansa muu vakioleveä luku, voidaan kirjoittaa neliöön [22] sekä säännölliseen kuusikulmioon [23] ;
Barbierin lauseen mukaan Reuleaux'n kolmion kehän kaava pätee kaikille vakioleveyksille [24] [25] [26] .

Extreme Properties

Pienin alue

Kaikista vakioleveysluvuista Reuleaux'n kolmiolla on pienin pinta- ala [1] . Tätä väitettä kutsutaan Blaschke-Lebesguen lauseeksi [27] [28] (saksalaisen geometrin Wilhelm Blaschken , joka julkaisi lauseen vuonna 1915 [29] , ja ranskalaisen matemaatikon Henri Lebesguen nimien mukaan , joka muotoili sen vuonna 1914 [30] . ] ). Eri aikoina sen todistuksen muunnelmia ehdottivat Matsusaburo Fujiwara (1927 ja 1931) [31] [32] , Anton Mayer (1935) [33] , Harold Eggleston (1952) [34] , Abram Besikovich (1963) [35 ]. ] , Donald Chakerian (1966) [36] , Evans Harrell (2002) [37] ja muut matemaatikot [5] . $a$

Voit löytää Reuleaux'n kolmion alueen lisäämällä sisemmän tasasivuisen kolmion alueen

S_{\triangle }={{{\sqrt {3}}} \over {4}}\cdot a^{2}

ja kolmen jäljellä olevan identtisen pyöreän segmentin pinta-ala perustuen 60 asteen kulmaan

S_{{seg}}={{a^{2}} \over {2}}\left({{\pi } \over {3}}-\sin {{\pi } \over {3}}\ right)={\left({{\pi } \over {6}}-{({\sqrt {3}}} \over {4}}\right)\cdot a^{2}},

tuo on

S_{{rt}}=S_{\kolmio }+3S_{{seg}}={{1} \yli {2}}\left(\pi -{\sqrt {3}}\right)\cdot a^ {2}=a^{2}\cdot 0{,}70477\ldots

[38]

Kuva, jolla on päinvastainen äärimmäinen ominaisuus, on ympyrä . Kaikkien tietyn vakioleveyden lukujen joukossa sen pinta-ala on

S_{\bigcirc }=a^{2}\cdot {{\pi } \over {4}}=a^{2}\cdot 0{,}78539\ldots

enintään [39] [* 5] . Vastaavan Reuleaux'n kolmion pinta-ala on pienempi ≈10,27%. Näiden rajojen sisällä ovat kaikkien muiden tietyn vakioleveyden lukujen alueet.

Pienin kulma

Reuleaux'n kolmion jokaisen kärjen läpi, toisin kuin sen muissa rajapisteissä, ei ole yhtä viiteviivaa , vaan ääretön määrä vertailuviivoja. Leikkaavat yläosassa ne muodostavat "nipun". Tämän "nipun" äärimmäisten suorien viivojen välistä kulmaa kutsutaan huippukulmaksi . Vakioleveyksillä kuvien kärkien kulma ei voi olla pienempi kuin 120°. Ainoa vakioleveä luku, jolla on täsmälleen 120° kulmat, on Reuleaux'n kolmio [4] .

Vähiten keskisymmetriaa

Kaikista vakioleveyksistä Reuleaux'n kolmiolla on pienin keskisymmetriaaste [5] [40] [41] [42] [43] . Kuvion symmetria-asteen määrittämiseen on useita eri tapoja. Yksi niistä on Kovner-Besikovitšin toimenpide. Yleisessä tapauksessa kuperalle kuviolle se on yhtä suuri kuin $C$

\sigma (C)={{\mu (A)} \over {\mu (C))),

missä on kuvion pinta-ala, on keskisymmetrinen kupera enimmäispinta-ala, joka sisältyy . Reuleaux'n kolmiolle tällainen kuvio on kaarevien sivujen kuusikulmio , joka on tämän Reuleaux'n kolmion ja sen kuvan leikkauspiste, jonka keskisymmetria on sen keskipisteen suhteen [* 3] . Kovner-Besicovich-mitta Reuleaux'n kolmiolle on $\mu$ $A$ $C$

\sigma ={{6\arccos {\left({{5+{\sqrt {33}}} \over {12}}\right)}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {11}} } \over {\pi -{\sqrt {3}}}}=0{,}84034\ldots

[5] [40]

Toinen tapa on Estermanin mitta

\tau (C)={{\mu (C)} \over {\mu (B))),

missä on minimipinta-alan sisältävä keskisymmetrinen luku. Reuleaux'n kolmiolle tämä on säännöllinen kuusikulmio , joten Estermanin mitta on $B$ $C$ $B$

\tau ={{\pi -{\sqrt {3}}} \over {{\sqrt {3}}}}=0{,}81379\lpistettä

[5] [36]

Keskisymmetrisillä hahmoilla Kovner-Besikovitšin ja Estermannin mittasuhteet ovat yhtä. Vakioleveyksistä kuvista vain ympyrällä [25] on keskussymmetriaa , mikä (yhdessä Reuleaux'n kolmion kanssa) rajoittaa niiden symmetria-arvojen mahdollisia arvoja.

Neliön rullaava

Mikä tahansa vakioleveä kuvio kirjoitetaan neliöön , jonka sivu on yhtä suuri kuin kuvion leveys, ja neliön sivujen suunta voidaan valita mielivaltaisesti [22] [* 6] . Reuleaux'n kolmio ei ole poikkeus, se on kaiverrettu neliöön ja voi pyöriä siinä koskettaen jatkuvasti kaikkia neljää sivua [44] .

Jokainen kolmion kärki "läpi" pyörimisensä aikana lähes koko neliön kehän poiketen tästä liikeradalta vain kulmissa - siellä kärki kuvaa ellipsin kaaria . Tämän ellipsin keskipiste sijaitsee neliön vastakkaisessa kulmassa, ja sen pää- ja sivuakselit on kierretty 45° kulmassa neliön sivuihin nähden ja ovat yhtä suuret.

a\cdot \left({\sqrt {3}}\pm 1\right),

missä on kolmion leveys [45] . Jokainen neljästä ellipsistä koskettaa neliön kahta vierekkäistä sivua etäisyyden päässä $a$

a\cdot \left(1-{{\sqrt {3}}} \over {2}}\right)=a\cdot 0{,}13397\ldots

kulmasta [38] .

Reuleaux'n kolmion keskipiste liikkuu pyörimisen aikana pitkin lentorataa, joka koostuu neljästä identtisestä ellipsin kaaresta. Näiden ellipsien keskipisteet sijaitsevat neliön kärjessä, ja akselit on kierretty 45 ° kulmassa neliön sivuihin nähden ja ovat yhtä suuria kuin

a\cdot \left(1\pm {{1} \over {\sqrt {3))}\right)

[45] .

Joskus mekanismeissa, jotka toteuttavat tällaisen kolmion kiertoliikkeen käytännössä, keskustan liikeradalle ei valita neljän ellipsin kaaren liimausta, vaan sitä lähellä oleva ympyrä [46] .

Jokaisen neljän kulman pinta -ala, johon kierto ei vaikuta, on yhtä suuri

\beta =a^{2}\cdot \left(1-{{{\sqrt {3}}} \over {2}}-{{\pi } \over {24}}\right)

[47]

ja vähentämällä ne neliön pinta-alasta, saat sen kuvion alueen, jonka Reuleaux'n kolmio muodostaa, kun se pyörii siinä

a^{2}-4\beta =a^{2}\cdot \left(2{\sqrt {3}}+({\pi } \over {6}}-3\right)=a^{2 }\cdot 0{,}98770\ldots

[38] [47] [48]

Ero neliön pinta-alan kanssa on ≈1,2%, joten Reuleaux'n kolmion perusteella luodaan porat , jotka mahdollistavat lähes neliömäisten reikien muodostamisen [45] .

Sovellus

Neliömäisten reikien poraaminen poikkileikkaukseltaan teräreikien akseliin

”Olemme kaikki kuulleet jakoavaimista , jotka on suunniteltu vasenkätisille muttereille , solmituille vesiputkille ja valurautabanaaneille. Pidimme sellaisia asioita naurettavina rihkamaisina, emmekä suostuneet uskomaan, että koskaan tapaisimme niitä todellisuudessa. Ja yhtäkkiä on työkalu, jolla voit porata neliömäisiä reikiä!

Watts Brothers Tool Works -lehtinen [49] [* 7]

Leikkuri , jonka osa on Reuleaux-kolmion muotoinen ja leikkuuterät osuvat yhteen sen kärkien kanssa, mahdollistaa lähes neliömäisten reikien muodostamisen. Tällaisten reikien ja poikkileikkauksen neliön välinen ero on vain hieman pyöristetyissä kulmissa [50] . Toinen tällaisen leikkurin ominaisuus on, että sen akselin ei pitäisi pysyä paikallaan pyörimisen aikana, kuten perinteisten kierreporien tapauksessa, vaan se kuvaa leikkaustasossa käyrää, joka koostuu neljästä ellipsin kaaresta . Siksi istukka , johon leikkuri on kiinnitetty, ja työkalun pidike eivät saa häiritä tätä liikettä [45] .

Ensimmäistä kertaa USA :ssa työskentelevä englantilainen insinööri Harry Watts onnistui toteuttamaan tällaisen työkalunpitimen suunnittelun . Tätä varten hän käytti ohjauslevyä, jossa oli neliön muotoinen reikä, jossa pora saattoi liikkua säteittäisesti, kiinnitettynä "kelluvaan istukkaan" [50] . Istukan [ 51] ja poran [52] patentit sai Watts vuonna 1917. Uudet porat myi Watts Brothers Tool Works [53] [54] . Toinen Yhdysvaltain patentti samanlaiselle keksinnölle myönnettiin vuonna 1978 [55] .

Wankel-moottori

Toinen käyttöesimerkki löytyy Wankel-moottorista : tämän moottorin roottori on tehty Reuleaux'n kolmion muodossa [6] . Se pyörii kammion sisällä, jonka pinta on valmistettu epitrokoidin mukaan [56] . Roottorin akseli on tiukasti kytketty hammaspyörään , joka kytkeytyy kiinteällä vaihteella . Tällainen kolmikulmainen roottori pyörii hammaspyörän ympäri, koskettaen koko ajan moottorin sisäseiniä yläosilla ja muodostaen kolme tilavuudeltaan vaihtelevaa aluetta , joista jokainen on puolestaan palokammio [6] . Tämän ansiosta moottori suorittaa kolme täydellistä työjaksoa yhdellä kierroksella.

Wankel-moottori mahdollistaa minkä tahansa nelitahtisen termodynaamisen syklin suorittamisen ilman kaasunjakelumekanismia . Seoksen muodostus, sytytys , voitelu, jäähdytys ja käynnistys siinä ovat pohjimmiltaan samat kuin perinteisissä mäntäpolttomoottoreissa [56] .

Simpukkamekanismi

Toinen Reuleaux'n kolmion sovellus mekaniikassa on simpukkamekanismi, joka liikuttaa elokuvaa ruutu kerrallaan elokuvaprojektoreissa . Esimerkiksi Luch-2-projektorin tartunta perustuu Reuleaux'n kolmioon, joka on kaiverrettu neliömäiseen kehykseen, joka on kiinnitetty kaksoissuuntaan . Pyöriessään vetoakselin ympärillä kolmio siirtää runkoa ja hammas sijaitsee sen päällä . Hammas menee kalvon rei'itykseen , vetää sitä alas yhden ruudun ja poistuu takaisin ja nousee sitten syklin alkuun. Sen liikerata on mitä lähempänä neliötä, sitä lähemmäksi kolmion yläosaa akseli on kiinteä (ihanteellisessa tapauksessa neliön liikerata sallisi rungon projisoinnin ¾ syklistä) [6] [57] [58] .

On olemassa toinen kouramalli, joka myös perustuu Reuleaux'n kolmioon. Kuten ensimmäisessä tapauksessa, tämän kahmarin runko suorittaa edestakaisen liikkeen, mutta sitä ei liikuta yksi, vaan kaksi nokkaa , joiden toiminta synkronoidaan hammaspyörän avulla [28] .

Kaivon kannet

Kaivon kannet voidaan tehdä Reuleaux'n kolmion muotoisiksi - vakioleveyden vuoksi ne eivät pääse putoamaan luukun sisään [59] .

San Franciscossa veden talteenottojärjestelmän kaivon rungot on muotoiltu Reuleaux-kolmioksi, mutta niiden kannet ovat tasasivuisten kolmioiden muotoisia.

Nokkamekanismi

Reuleaux'n kolmiota käytettiin joidenkin 1800 -luvun alun höyrykoneiden nokkamekanismeissa . Näissä mekanismeissa kammen pyörivä liike pyörittää Reuleaux-kolmiota, joka on kiinnitetty työntötankoon voimansiirtovipujen avulla, mikä saa työntötangon liikkumaan edestakaisin [63] . Reuleaux'n terminologian mukaan tämä yhteys muodostaa "korkeamman" kinemaattisen parin , koska linkkien kosketus tapahtuu linjaa pitkin, ei pintaa pitkin [64] . Tällaisissa nokkamekanismeissa työntäjä pysyy liikkumattomana, kun se saavuttaa oikean tai vasemman ääriasennon, jonkin rajallisen ajan [63] [10] .

Reuleaux'n kolmiota käytettiin aiemmin laajalti siksak - ompelukoneiden nokkamekanismeissa .

Saksalaiset kellosepät käyttivät Reuleaux-kolmiota nokkana A. Lange & Söhne "Lange 31" [65] -rannekellossa .

Luistinrata

Raskaiden esineiden siirtämiseen lyhyitä matkoja voidaan käyttää paitsi pyörillä, myös yksinkertaisempia rakenteita, esimerkiksi lieriömäisiä rullia [66] . Tätä varten kuorma on asetettava tasaiselle jalustalle, joka on asennettu rullille, ja työnnetään sitten. Kun takarullat vapautuvat, ne on kannettava ja asetettava eteen [67] [66] . Ihmiskunta käytti tätä kuljetustapaa ennen pyörän keksimistä .

Tässä liikkeessä on tärkeää, että kuorma ei liiku ylös ja alas, koska tärinä vaatii lisäponnistusta työntimeltä [67] . Jotta liike rullia pitkin olisi suoraviivaista , niiden poikkileikkauksen tulee olla vakioleveys [67] [68] . Useimmiten osa oliympyrä , koska tavalliset lokit toimivat rullina . Reuleaux'n kolmion muodossa oleva leikkaus on kuitenkin yhtä hyvä [ selventää ] ja mahdollistaa esineiden siirtämisen samalla suoralla [6] [67] .

Vaikka Reuleaux'n kolmion muotoiset rullat mahdollistavat esineiden tasaisen liikkumisen, tämä muoto ei sovellu pyörien valmistukseen, koska Reuleaux'n kolmiolla ei ole kiinteää pyörimisakselia [69] .

Plectrum

Reuleaux-kolmio on yleinen plectrum (pick) -muoto: ohut levy, joka on suunniteltu soittamaan kynittyjen soittimien kieleillä .

Suunnittelussa

Reuleaux'n kolmiota käytetään elementtinä yritysten ja organisaatioiden logoissa, esimerkiksi: FINA ( Petrofina ) [70] , Bavaria [71] , Colorado School of Mines [72] .

Yhdysvalloissa kansallinen polkujärjestelmä ja pyöräreittijärjestelmä on koristeltu Reuleaux'n kolmioilla [73] .

Samsung Corby -älypuhelimen keskipainikkeen muoto on Reuleaux-kolmio, joka on sijoitettu samanmuotoiseen hopeiseen kehykseen. Keskinäppäin on asiantuntijoiden mukaan Corbyn etupuolen tärkein suunnitteluelementti [74] [75] .

Reuleaux'n kolmio taiteessa

Arkkitehtuuri

Reuleaux'n kolmion muotoa käytetään myös arkkitehtonisiin tarkoituksiin. Sen kahden kaaren rakenne muodostaa goottilaiselle tyylille ominaisen terävän kaaren , mutta se on kokonaisuudessaan melko harvinainen goottilaisissa rakennuksissa [76] [77] . Reuleaux'n kolmion muotoisia ikkunoita löytyy Bruggen Neitsyt Marian kirkosta [ 9] sekä Skotlannin kirkosta Adelaidessa [77] . Koriste - elementtinä se löytyy sveitsiläisen Hauterivesin kunnassa sijaitsevan kystercian luostarin ikkunapalkeista [76] .

Reuleaux-kolmiota käytetään myös ei-goottilaisessa arkkitehtuurissa. Esimerkiksi Kölnissä vuonna 2006 rakennettu 103-metrinen torni nimeltä " Kölnin kolmio " on poikkileikkaukseltaan juuri tämä luku [78] .

Jotkut käyttötapaukset


Neitsyt Marian kirkon ikkuna Bruggessa	Pyhän Salvatorin katedraalin ikkuna Bruggessa	Notre Damen katedraalin ikkuna	" Kölnin kolmio "

Pyhän Mikaelin kirkon ikkuna Luxemburgissa	Neitsyt Marian kirkon ikkuna Bruggessa	Pyhän Mikaelin ja Gudulan katedraalin ikkuna Brysselissä	Pyhän Bavon katedraalin ikkuna Gentissä

Katso myös luokka " Reuleaux -kolmiot arkkitehtuurissa " Wikimedia Commonsissa

Muoto ja väri

Johannes Ittenin esikurssin mukaan "ihanteellisessa" vastaavuusmallissa osa kunkin värin spektristä on siinä - muodossa (geometrinen kuvio). Vihreä väri on "johdannainen": tulos sekoittamalla läpinäkyvää sinistä ja vaaleankeltaista (ilman akromaattisia ), ja koska tässä mallissa ne vastaavat ympyrää ja säännöllistä kolmiota, se on I. Itten a:n kutsuma luku. pallomainen kolmio, Reuleaux'n kolmio, joka vastaa vihreää.

Kirjallisuus

Poul Andersonin sci -fi- novellissa "The Triangular Wheel" [79] maalaisten miehistö törmäsi maapallolle, jonka väestö ei käyttänyt pyöriä , koska kaikki ympärillä oleva oli uskonnollisen kiellon alaista. Edellinen maanpäällinen tutkimusmatka satojen kilometrien päähän laskeutumispaikasta jätti varaston, jossa oli varaosia, mutta laivaan tarvittavan kahden tonnin ydingeneraattorin siirtäminen sieltä oli mahdotonta ilman mekanismeja. Tämän seurauksena maan asukkaat onnistuivat noudattamaan tabua ja kuljettamaan generaattoria rullien avulla, joiden osa oli Reuleaux-kolmion muotoinen.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Reuleaux-polygoni

Reuleaux'n kolmion taustalla oleva ajatus voidaan yleistää käyttämällä luomaan vakioleveä käyrä, ei tasasivuista kolmiota , vaan samanpituisista viivasegmenteistä muodostuvan tähtituneen monikulmion [80] . Jos tähtimäisen monikulmion jokaisesta kärjestä piirretään ympyrän kaari, joka yhdistää kaksi vierekkäistä kärkeä, niin tuloksena oleva vakioleveä suljettu käyrä koostuu äärellisestä määrästä samansäteisiä kaaria [80] . Tällaisia käyriä (sekä niiden rajoittamia kuvioita) kutsutaan Reuleaux'n polygoneiksi [81] [82] .

Tietyn leveyden Reuleaux'n polygonien perhe muodostaa kaikkialla tiheän osajoukon kaikkien vakioleveysten käyrien joukossa ( Hausdorffin metriikan kanssa ) [81] . Toisin sanoen niiden avulla on mahdollista approksimoida mikä tahansa vakioleveä käyrä mielivaltaisesti tarkasti [83] [82] . $a$ $a$

Reuleaux'n monikulmioiden joukossa on luokka käyriä, jotka on muodostettu säännöllisten tähtimuotoisten monikulmioiden perusteella. Tätä luokkaa kutsutaan tavallisiksi Reuleaux-polygoneiksi . Kaikilla kaarilla, jotka muodostavat tällaisen monikulmion, ei ole vain sama säde, vaan myös sama pituus [84] [* 8] . Esimerkiksi Reuleaux'n kolmio on oikea. Kaikista Reuleaux'n polygoneista, joissa on kiinteä määrä sivuja ja sama leveys, säännölliset polygonit ympäröivät suurimman alueen [84] [85] .

Tällaisten monikulmioiden muotoa käytetään metallirahassa : useiden maiden kolikot (erityisesti 20 [86] ja 50 penniä [87] Iso-Britannia ) valmistetaan tavallisen Reuleaux-seitsenkulman muodossa. Siellä on kiinalaisen upseerin valmistama polkupyörä , jonka pyörät ovat säännöllisen kolmion ja Reuleaux'n viisikulmion muotoisia [88] .

3D-analogit

Reuleaux'n kolmion kolmiulotteinen analogi kolmen ympyrän leikkauspisteenä on Reuleaux'n tetraedri - neljän identtisen pallon leikkauspiste , joiden keskipisteet sijaitsevat säännöllisen tetraedrin huipuissa ja säteet ovat yhtä suuria kuin tämä tetraedri. Reuleaux'n tetraedri ei kuitenkaan ole vakioleveä kappale : sen kärkipisteitä yhdistävien vastakkaisten kaarevien rajareunojen keskipisteiden välinen etäisyys on

{\sqrt {3}}-{\frac {{\sqrt {2}}}{2}}=1{,}02494\ldots

kertaa suurempi kuin alkuperäisen säännöllisen tetraedrin reuna [89] [90] .

Reuleaux'n tetraedria voidaan kuitenkin muokata niin, että tuloksena oleva kappale on vakioleveä kappale. Tätä varten kussakin kolmesta vastakkaisen kaarevan reunan parista yksi reuna "tasoitetaan" tietyllä tavalla [90] [91] . Kahta tällä tavalla saatua erilaista kiinteää ainetta (kolme reunaa, joilla korvaukset tapahtuvat, voidaan ottaa joko lähteen samasta kärjestä tai muodostaen kolmion [91] ) kutsutaan Meissner-kiintoaineiksi tai Meissner-tetraedreiksi [89] . Tommy Bonnesenin [ ja Werner Fenchelin vuonna 1934 laatima hypoteesi [92] väittää, että juuri nämä kappaleet minimoivat tilavuuden kaikkien tietyn vakioleveyden omaavien kappaleiden joukossa, mutta (vuodesta 2011 lähtien) tätä hypoteesia ei ole todistettu [93] ] [94] .

Lopuksi pyörimiskappale, joka saadaan kiertämällä Reuleaux'n kolmiota sen toisen kertaluvun symmetria-akselinsa ympäri, on vakioleveä kappale. Sillä on pienin tilavuus kaikista vakioleveyskappaleista [90] [95] [96] .

Kommentit

↑ Sukunimen Reuleaux transkriptiosta on muitakin muunnelmia. Esimerkiksi I. M. Yaglom ja V. G. Boltyansky kirjassa "Kuperat hahmot" kutsuvat sitä "Rello-kolmioksi".
↑ Vertailuviiva kulkee kuvan rajan yhden pisteen läpi jakamatta kuvaa osiin.
↑ 1 2 Reuleaux'n kolmion keskipiste on sen säännöllisen kolmion kaikkien mediaanien , puolittajien ja korkeuksien leikkauspiste.
↑ Reuleaux'n kolmiossa tämä ympyrä osuu yhteen sen rajan muodostavista kolmesta ympyrästä.
↑ Tämä väite johtuu kahden lauseen yhdistelmästä - Didon ja Barbierin lauseen klassisesta isoperimetrisestä ongelmasta .
↑ Tämä ominaisuus luonnehtii täysin vakioleveyksiä. Toisin sanoen mikä tahansa kuvio, jonka ympäri kuvattua neliötä voidaan "kiertää", on vakioleveä luku.
↑ Alkuperäinen - "Olemme kaikki kuulleet vasenkätisistä apinaavaimista, turkisvuoratuista kylpyammeista, valurautabanaaneista. Olemme kaikki luokitelleet nämä asiat naurettaviksi ja kieltäytyneet uskomasta, että mitään sellaista voisi koskaan tapahtua, ja sitten tulee työkalu, joka poraa neliömäisiä reikiä!"
↑ Toisin sanoen näiden kaarien keskikulmat ovat yhtä suuret.

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 Sokolov D. D. Vakioleveä käyrä // Mathematical Encyclopedia / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1984. - T. 4. - S. 519. - 608 s. - 150 000 kappaletta.
↑ Yaglom, Boltyansky. Kuperia hahmoja, 1951 , s. 91.
↑ Yaglom, Boltyansky. Kuperia hahmoja, 1951 , s. 90.
↑ 1 2 Rademacher, Toeplitz, 1962 , s. 206-207.
↑ 1 2 3 4 5 Finch SR Reuleaux Triangle Constants // Matemaattiset vakiot . - Cambridge : Cambridge University Press, 2003. - P. 513-515 . — 624 s. - (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 94). - ISBN 0-5218-1805-2 . (Englanti)
↑ 1 2 3 4 5 Andreev N. N. Pyöreä Reuleaux'n kolmio . Matemaattiset opinnot . Haettu 11. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 23. toukokuuta 2012. (määrätön)
↑ Pickover CA Reuleaux'n kolmio // Matemaattinen kirja: Pythagorasista 57. ulottuvuuteen, 250 virstanpylvästä matematiikan historiassa . - New York ; Lontoo : Sterling, 2009. - s . 266-267 . — 528 s. — ISBN 1-4027-5796-4 . (Englanti)
↑ Kuu. Leonardo Da Vincin ja Franz Reuleaux'n koneet, 2007 , s. 240.
↑ 1 2 3 4 Taimina D. , Henderson D.W. Reuleaux Triangle . Kinemaattiset mallit digitaalisen kirjaston suunnitteluun . Cornellin yliopisto . Haettu 11. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 10. toukokuuta 2012.
↑ 12 Kuu . Leonardo Da Vincin ja Franz Reuleaux'n koneet, 2007 , s. 241.
↑ Snyder Karttaprojektioiden syntyminen: Klassista renessanssin kautta // Maan litistyminen: Kaksituhatta vuotta karttaprojektioita. - Chicago ; Lontoo : University Of Chicago Press, 1997. - s. 40. - 384 s. — ISBN 0-2267-6747-7 . (Englanti)
↑ Vakioleveyden käyrä // Matemaattinen tietosanakirja / Ch. toim. Yu. V. Prokhorov . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1988. - S. 478 . — 847 s. - 150 000 kappaletta.
↑ WolframAlpha : Reuleaux-kolmio . wolframalpha . Wolfram Research. Haettu: 18. marraskuuta 2011. (linkki, jota ei voi käyttää)
↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , s. 201.
↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , s. 201-202.
↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , s. 202-203.
↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , s. 203.
↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , s. 203-204.
↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , s. 204-206.
↑ Lenz H. Zur Zerlegung von Punktmengen in solche kleineren Durchmessers (saksa) // Archiv der Mathematik. - Basel : Birkhäuser Verlag, 1955. - Bd. 6 , ei. 5 . - S. 413-416 . — ISSN 0003-889X . - doi : 10.1007/BF01900515 .
↑ Raigorodsky A. M. Borsukin ongelma. Yleisrenkaat // Matemaattinen koulutus . - M . : MTSNMO , 2008. - Numero. 12 . - S. 216 . — ISBN 978-5-94057-354-8 . Arkistoitu alkuperäisestä 16. syyskuuta 2011.
↑ 1 2 Yaglom, Boltyansky. Kuperia hahmoja, 1951 , s. 92.
↑ Eggleston. Convexity, 1958 , s. 127-128.
↑ Barbier E. Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert (ranska) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - Paris : Imprimerie de Mallet-Hachelier, 1860. - Voi. 5 . - s. 273-286 . — ISSN 0021-7824 . (linkki ei saatavilla)
↑ 1 2 Bogomolny A. Barbierin lause . Leikkaa solmu . Haettu 11. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 23. toukokuuta 2012.
↑ Eggleston. Convexity, 1958 , s. 127.
↑ Eggleston. Convexity, 1958 , s. 128-129.
↑ 1 2 Berger M. Geometry = Géométrie / Per. ranskasta Yu. N. Sudareva, A. V. Pajitnova, S. V. Chmutova. - M .: Mir , 1984. - T. 1. - S. 529-531. - 560 s.
↑ Blaschke W. Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts (saksa) // Mathematische Annalen . - Leipzig : Druck und Verlag von BG Teubner, 1915. - Bd. 76 , nro. 4 . - S. 504-513 . — ISSN 0025-5831 . - doi : 10.1007/BF01458221 .
↑ Lebesgue H. Sur le problème des isopérimètres et sur les domaines de largeur convert (ranska) // Bulletin de la Société Mathématique de France, Comptes Rendus des Séances. - 1914. - Voi. 42 . - s. 72-76 . Arkistoitu alkuperäisestä 28. marraskuuta 2016.
↑ Fujiwara M. Analyyttinen todistus Blaschken lauseesta vakioleveyden käyrästä vähimmäispinta- alalla // Imperial Academyn julkaisuja. - Tokio : Japan Academy, 1927. - Voi. 3 , ei. 6 . - s. 307-309 . — ISSN 0369-9846 . doi : 10.2183 /pjab1912.3.307 .
↑ Fujiwara M. Analyyttinen todistus Blaschken lauseesta vakioleveyden käyrästä vähimmäispinta-alalla, II // Imperial Academyn julkaisut. - Tokio : Japan Academy, 1931. - Voi. 7 , ei. 8 . - s. 300-302 . — ISSN 0369-9846 . doi : 10.2183 /pjab1912.7.300 .
↑ Mayer A.E. Der Inhalt der Gleichdicke: Abschätzungen für ebene Gleichdicke (saksa) // Mathematische Annalen . - Berliini : Verlag von Julius Springer, 1935. - Bd. 110 , ei. 1 . - S. 97-127 . — ISSN 0025-5831 . - doi : 10.1007/BF01448020 .
↑ Eggleston HG Todiste Blaschken lauseesta Reuleaux'n kolmiosta // Quarterly Journal of Mathematics. - Lontoo : Oxford University Press , 1952. - Voi. 3 , ei. 1 . - s. 296-297 . — ISSN 0033-5606 . - doi : 10.1093/qmath/3.1.296 .
↑ Besicovitch AS :n vakioleveyden vähimmäispinta- ala // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. - Providence : American Mathematical Society , 1963. - Voi. 7 (Kuperuus) . - s. 13-14 . - ISBN 0-8218-1407-9 . — ISSN 0082-0717 .
↑ 1 2 Chakerian GD Sets of Constant Width // Pacific Journal of Mathematics . - Berkeley : Pacific Journal of Mathematics Corporation, 1966. - Voi. 19 , ei. 1 . - s. 13-21 . — ISSN 0030-8730 . Arkistoitu alkuperäisestä 4. maaliskuuta 2016.
↑ Harrell EM Suora todiste Blaschken ja Lebesguen lauseesta // Journal of Geometric Analysis. — St. Louis : Mathematica Josephina, 2002. - Voi. 12 , ei. 1 . - s. 81-88 . — ISSN 1050-6926 . - doi : 10.1007/BF02930861 . arXiv : math.MG/0009137
↑ 1 2 3 Weisstein E.W. Reuleaux'n kolmio . wolfram mathworld . Haettu 6. marraskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 2. huhtikuuta 2019.
↑ Boltyansky V. G. Janan kierrosta // Kvant . - M . : Nauka , 1973. - Nro 4 . - S. 29 . — ISSN 0130-2221 . Arkistoitu alkuperäisestä 26. marraskuuta 2007.
↑ 1 2 Besicovitch AS Konveksien käyrien epäsymmetrian mitta (II): Constant Width -käyrät // Journal of the London Mathematical Society. - Oxford : Oxford University Press , 1951. - Voi. 26 , nro. 2 . - s. 81-93 . — ISSN 0024-6107 . - doi : 10.1112/jlms/s1-26.2.81 .
↑ Eggleston HG :n vakioleveyden kuperakäyrien ja rajoitettujen kaarevuussäteiden epäsymmetrian mitta // Quarterly Journal of Mathematics. - Lontoo : Oxford University Press , 1952. - Voi. 3 , ei. 1 . - s. 63-72 . — ISSN 0033-5606 . - doi : 10.1093/qmath/3.1.63 .
↑ Grünbaum B. Symmetrian mittoja kuperalle joukolle // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. - Providence : American Mathematical Society , 1963. - Voi. 7 (Kuperuus) . - s. 233-270 . - ISBN 0-8218-1407-9 . — ISSN 0082-0717 .
↑ Groemer H., Wallen LJ Asymmetriamitta vakioleveyksille alueille // Beiträge zur Algebra und Geometry / Contributions to Algebra and Geometry. - Lemgo : Heldermann Verlag, 2001. - Voi. 42 , nro. 2 . - s. 517-521 . — ISSN 0138-4821 . Arkistoitu alkuperäisestä 21. syyskuuta 2015.
↑ Andreev N. N. Pyörän keksiminen . Matemaattiset opinnot . Haettu 11. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 23. toukokuuta 2012. (määrätön)
↑ 1 2 3 4 Andreev N. N. Neliömäisten reikien poraus . Matemaattiset opinnot . Haettu 11. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 23. toukokuuta 2012. (määrätön)
↑ Beliltsev V. Plus geometria! // Tekniikka ja tiede. - M .: Profizdat, 1982. - Nro 7 . - S. 14 . — ISSN 0321-3269 .
↑ 1 2 Klee V. , Wagon S. Vanhoja ja uusia ratkaisemattomia ongelmia tasogeometriassa ja lukuteoriassa. - Washington DC : Mathematical Association of America , 1996. - S. 22. - 356 s. - (Dolciani Mathematical Expositions, osa 11). — ISBN 0-8838-5315-9 . (Englanti)
↑ Wilson RG A066666: Pyörivän Reuleaux- kolmion leikkaaman alueen desimaalilaajennus . OEIS . Haettu 11. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 23. toukokuuta 2012.
↑ Lainaus kirjasta Gardner M. Mathematical vapaa-aika / Per. englannista. Yu. A. Danilova. Ed. A. Ya. Smorodinsky. - M .: Mir , 1972. - S. 292. - 496 s.
↑ 1 2 Yegupova M. Onko mahdollista porata neliömäinen reikä? // Tiede ja elämä . - M . : ANO "Tiede ja elämä -lehden toimitus", 2010. - Nro 5 . - S. 84-85 . — ISSN 0028-1263 . (Venäjän kieli)
↑ Wattia HJ US-patentti 1 241 175 (Floating Tool-Chuck ) . Haettu 11. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 29. marraskuuta 2015.
↑ Wattia HJ US-patentti 1 241 176 (pora tai porausosa ) . Haettu 11. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 29. joulukuuta 2011.
↑ Smith. Neliönmuotoisten reikien poraus, 1993 .
↑ Darling DJ Reuleaux Triangle // Universaali matematiikan kirja: Abracadabrasta Zenon paradokseihin . - Hoboken : Wiley, 2004. - S. 272 . - 400p. — ISBN 0-4712-7047-4 . (Englanti)
↑ Morrell RJ, Gunn JA, Gore GD US-patentti 4 074 778 (neliöreikäpora ) . Haettu 11. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 28. joulukuuta 2011.
↑ 1 2 Wankel-moottori // Ammattikorkeakoulun sanakirja / Toimituslautakunta: A. Yu. Ishlinsky (päätoimittaja) ja muut - 3. painos, tarkistettu. ja ylimääräisiä - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1989. - S. 72. - 656 s. — ISBN 5-8527-0003-7 .
↑ Yaglom, Boltyansky. Kuperia hahmoja, 1951 , s. 93-94.
↑ Kulagin S.V. Simpukkamekanismi // Fotokinotekniikka / Ch. toim. E. A. Iofis . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1981. - S. 71. - 447 s. - 100 000 kappaletta.
↑ Valkoinen HS Leonhard Eulerin geometria // Leonhard Euler: Elämä, työ ja perintö / Toim. RE Bradley, C. E. Sandifer. - Amsterdam : Elsevier , 2007. - S. 309 . — ISBN 0-4445-2728-1 .
↑ Malli: L01 Positiivinen palautusmekanismi kaarevalla kolmiolla (mallin metatiedot ) . Kinemaattiset mallit digitaalisen kirjaston suunnitteluun . Cornellin yliopisto . Haettu 18. marraskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 23. toukokuuta 2012.
↑ Malli: L02 Positive Return Cam (mallin metatiedot ) . Kinemaattiset mallit digitaalisen kirjaston suunnitteluun . Cornellin yliopisto . Haettu 18. marraskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 23. toukokuuta 2012.
↑ Malli: L06 Positive Return Cam (mallin metatiedot ) . Kinemaattiset mallit digitaalisen kirjaston suunnitteluun . Cornellin yliopisto . Haettu 18. marraskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 23. toukokuuta 2012.
↑ 1 2 Malli : L01 Positiivinen palautusmekanismi kaarevalla kolmiolla . Kinemaattiset mallit digitaalisen kirjaston suunnitteluun . Cornellin yliopisto . Haettu 11. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 23. toukokuuta 2012.
↑ Malli : L06 Positive Return Cam . Kinemaattiset mallit digitaalisen kirjaston suunnitteluun . Cornellin yliopisto . Haettu 11. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 23. toukokuuta 2012.
↑ Gopey I. A. Lange & Söhne Lange 31 // Kelloni. - M . : Katso kirjallisuutta, 2010. - Nro 1 . - S. 39 . — ISSN 1681-5998 . Arkistoitu alkuperäisestä 13. helmikuuta 2011.
↑ 12 Gardner . The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991 , s. 212.
↑ 1 2 3 4 Butuzov V. F. et al. Circle // Planimetry. Käsikirja matematiikan syvälliseen opiskeluun . — M .: Fizmatlit , 2005. — S. 265. — 488 s. — ISBN 5-9221-0635-X . Arkistoitu 18. syyskuuta 2012 Wayback Machineen
↑ Kogan B. Yu. Hämmästyttävät rullat // Kvant . - M . : Nauka , 1971. - Nro 3 . - S. 21-24 . — ISSN 0130-2221 . Arkistoitu alkuperäisestä 28. maaliskuuta 2012.
↑ Peterson. Mathematical Treks, 2002 , s. 143.
↑ Fina-logon historia: Petrofinasta Finaan . total.com. Arkistoitu alkuperäisestä 26. joulukuuta 2012. (määrätön)
↑ Baijeri . Käyttöönottopäivä: 7.5.2019. (Venäjän kieli)
↑ Roland B. Fischer. M-Blems: Logon selittäminen (PDF) 29. Mines: The Magazine of Colorado School of Mines. Osa 92, numero 2 (kevät 2002). Haettu 7. toukokuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 10. heinäkuuta 2010. (määrätön)
↑ Väliaikainen hyväksyntä vaihtoehtoisen mallin valinnaiselle käytölle Yhdysvaltain pyöräreitille (M1-9) -kyltille (IA-15) - Väliaikaiset hyväksynnät, myöntänyt FHWA - FHWA MUTCD . mutcd.fhwa.dot.gov. Haettu 7. toukokuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 5. maaliskuuta 2020. (määrätön)
↑ Aleksei Gontšarov. Lennä, se on halvempaa: Samsung S3650 Corby (linkki ei saatavilla) . Nomobile (28. syyskuuta 2009). Haettu 7. toukokuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 14. helmikuuta 2019. (määrätön)
↑ Pavel Urusov. Matkapuhelimen Samsung S3650 Corby arvostelu . GaGadget (18. tammikuuta 2010). Haettu 2. maaliskuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 14. helmikuuta 2019. (määrätön)
↑ 1 2 Brinkworth P., Scott P. Fancy Gothic of Hauterive . Matematiikan paikka . Haettu 11. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 5. huhtikuuta 2013.
↑ 1 2 Scott P. Reuleaux'n kolmioikkuna . Matemaattinen valokuvagalleria . Haettu 11. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 1. toukokuuta 2013.
↑ KölnTriangle: Arkkitehtuuri (englanniksi) (linkki ei saatavilla) . KölnTrianglen virallinen verkkosivusto . Haettu 11. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 22. kesäkuuta 2013.
↑ Anderson P. Kolmikulmainen pyörä // Analoginen tiedefakta - Science Fiction . — New York : Condé Nast Publications, 1963/1010. — Voi. LXXII , nro. 2 . - s. 50-69 .
↑ 12 Gardner . The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991 , s. 215-216.
↑ 1 2 Bezdek M. Blaschke-Lebesguen lauseen yleistyksestä levy-polygoneille // Diskreetin matematiikan panoksia. - 2011. - Vol. 6 , ei. 1 . - s. 77-85 . — ISSN 1715-0868 . (linkki ei saatavilla)
↑ 12 Eggleston . Convexity, 1958 , s. 128.
↑ Yaglom, Boltyansky. Kuperia hahmoja, 1951 , s. 98-102.
↑ 1 2 Firey WJ Reuleaux'n polygonien isoperimetriset suhteet // Pacific Journal of Mathematics . - Berkeley : Pacific Journal of Mathematics Corporation, 1960. - Voi. 10 , ei. 3 . - s. 823-829 . — ISSN 0030-8730 . Arkistoitu alkuperäisestä 13. elokuuta 2016.
↑ Sallee GT Reuleaux'n polygonien suurimmat alueet // Canadian Mathematical Bulletin. - Ottawa : Canadian Mathematical Society, 1970. - Voi. 13 , ei. 2 . - s. 175-179 . — ISSN 0008-4395 . - doi : 10.4153/CMB-1970-037-1 . (linkki ei saatavilla)
↑ Iso-Britannia 20p Coin (eng.) (linkki ei saatavilla) . Ison-Britannian kuninkaallisen rahapajan virallinen verkkosivusto . Haettu 6. marraskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 12. helmikuuta 2012.
↑ Iso-Britannia 50p kolikko . Ison-Britannian kuninkaallisen rahapajan virallinen verkkosivusto . Haettu 6. marraskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 23. toukokuuta 2012.
↑ Kulmat pyörät: pyörän keksiminen uudelleen . Popular Mechanics -sivusto ( 29. toukokuuta 2009). Haettu 6. marraskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 18. lokakuuta 2010. (määrätön)
↑ 1 2 Weisstein E.W. Reuleaux Tetrahedron . wolfram mathworld . Haettu 6. marraskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 3. syyskuuta 2011.
↑ 1 2 3 Kawohl B., Weber C. Meissnerin salaperäiset ruumiit // Mathematical Intelligencer. - New York : Springer , 2011. - Voi. 33 , ei. 3 . - s. 94-101 . — ISSN 0343-6993 . - doi : 10.1007/s00283-011-9239-y . Arkistoitu alkuperäisestä 13. heinäkuuta 2012.
↑ 12 Gardner . The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991 , s. 218.
↑ Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. - Berliini : Verlag von Julius Springer, 1934. - S. 127-139. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 3, Heft 1). (Saksan kieli)
↑ Kawohl B. Convex Sets of Constant Width // Oberwolfach-raportit. - Zurich : European Mathematical Society Publishing House, 2009. - Voi. 6 , ei. 1 . - s. 390-393 . Arkistoitu alkuperäisestä 2. kesäkuuta 2013.
↑ Anciaux H., Guilfoyle B. Kolmiulotteisesta Blaschke-Lebesguen ongelmasta // Proceedings of the American Mathematical Society. - Providence : American Mathematical Society , 2011. - Voi. 139 , nro. 5 . - P. 1831-1839 . — ISSN 0002-9939 . - doi : 10.1090/S0002-9939-2010-10588-9 . arXiv : 0906.3217
↑ Campi S., Colesanti A., Gronchi P. Minimiongelmat kuperien kappaleiden tilavuuksille // Osittaisdifferentiaaliyhtälöt ja sovellukset / Toim. P. Marcellini, G. Talenti, E. Visintin. - New York : Marcel Dekker, 1996. - P. 43-55 . - ISBN 0-8247-9698-5 .
↑ Anciaux H., Georgiou N. Blaschke-Lebesguen ongelma vakioleveyksille vallankumouksen kappaleille . arXiv : 0903.4284

Kirjallisuus

venäjäksi

Rademacher G., Toeplitz O. Vakioleveyden käyrät // Numerot ja kuviot. Matemaattisen ajattelun kokeet / Per. hänen kanssaan. V. I. Kontovt. - M .: Fizmatgiz , 1962. - S. 195-211. — 263 s. - ("Matematiikan ympyrän kirjasto", numero 10). - 40 000 kappaletta.
Yaglom I. M. , Boltyansky V. G. Vakioleveiset hahmot // Kuperat hahmot . - M. - L .: GTTI , 1951. - S. 90-105. — 343 s. - ("Matematiikan ympyrän kirjasto", numero 4). – 25 000 kappaletta.

Englanniksi

Eggleston HG Vakioleveyden sarjat // Kuperuus. - Lontoo : Cambridge University Press, 1958. - P. 122-131. – 136 s. - (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 47). - ISBN 0-5210-7734-6 .
Gardner M. Vakioleveyden käyrät // Odottamaton riippuvuus ja muut matemaattiset poikkeamat. - Chicago ; Lontoo : University of Chicago Press, 1991. - s. 212-221. — 264 s. - ISBN 978-0-2262-8256-5 .
Gleißner W., Zeitler H. Reuleaux'n kolmio ja sen massakeskus // Tuloksia matematiikan alalta. - 2000. - Voi. 37, nro 3-4 . - s. 335-344. — ISSN 1422-6383 . Arkistoitu alkuperäisestä 4. joulukuuta 2007.
Moon FC Curves of Constant Breadth // Leonardo Da Vincin ja Franz Reuleaux'n koneet: Koneiden kinematiikka renessanssista 1900-luvulle. - Dordrecht : Springer , 2007. - S. 239-241. — 451 s. - (Mekanismin ja konetieteen historia, osa 2). - ISBN 978-1-4020-5598-0 .
Peterson I. Rolling with Reuleaux // Matemaattiset retket: Surrealistisista luvuista maagisiin ympyröihin. - Washington DC : Mathematical Association of America , 2002. - P. 141-144. - 180p. - (Spectrum-sarja). - ISBN 0-8838-5537-2 .
Reuleaux F. Elementiparit // Koneen kinematiikka. Koneiden teorian pääpiirteet / Tr. ja toim. kirjoittanut Alexander BW Kennedy . - Lontoo : Macmillan and Co, 1876. - S. 86-168. — 622 s.
Smith S. Neliön reikien poraus // Matematiikan opettaja. - Reston : National Council of Teachers of Mathematics, 1993. - Voi. 86, nro 7 . - s. 579-583. — ISSN 0025-5769 . Arkistoitu alkuperäisestä 4. huhtikuuta 2005.

Linkit

Videot sarjasta " Mathematical Etudes ", joka on omistettu Reuleaux'n kolmiolle:
- " Pyöreä Reuleaux'n kolmio "
- " Neliön reikien poraus "
- « Reinventing the Wheel Arkistoitu 22. kesäkuuta 2013. »
Bogomolny A. Vakioleveyden muodot . Leikkaa solmu . Haettu 11. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 10. toukokuuta 2012.
Eppstein D. Reuleaux'n kolmiot . Geometry Junkyard . Haettu 11. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 10. toukokuuta 2012.
Kunkel P. Reuleaux'n kolmio . Whistler Alley -matematiikka . Haettu 11. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 10. toukokuuta 2012.
Peterson I. Rolling with Reuleaux (englanniksi) (linkki ei saatavilla) . Ivars Petersonin MathLand . Amerikan matemaattinen yhdistys . Haettu 11. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 22. kesäkuuta 2013.
Taimina D. , Henderson DW Reuleaux Triangle (englanti) . Kinemaattiset mallit digitaalisen kirjaston suunnitteluun . Cornellin yliopisto . Haettu 11. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 10. toukokuuta 2012.

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
Muut	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

Muut

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
Muut	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto