Ympyrä

Ympyrä on suljettu tasokäyrä , joka koostuu kaikista tason pisteistä, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä, jotka sijaitsevat samassa tasossa kuin käyrä [1] : tätä pistettä kutsutaan ympyrän keskipisteeksi . Janaa, joka yhdistää keskustan mihin tahansa ympyrän pisteeseen, kutsutaan säteeksi ; sädettä kutsutaan myös tämän segmentin pituudeksi. Ympyrä jakaa tason kahteen osaan [2] – äärelliseen sisäiseen ja äärettömään ulkoiseen osaan. Ympyrän sisäosaa kutsutaan ympyräksi ; rajapisteet (eli itse ympyrä) lähestymistavasta riippuen ympyrä voi sisältää tai ei.

Käytännöllinen ympyrän rakentaminen on mahdollista kompassilla .

Nollasäteinen ympyrä (degeneroitunut ympyrä) on piste; lisäksi tämä tapaus jätetään huomioimatta, ellei toisin mainita.

Ympyrää kutsutaan yksiköksi, jos sen säde on yksi. Yksikköympyrä on yksi trigonometrian peruskohteista .

Tästä eteenpäin kirjain tarkoittaa ympyrän sädettä. $R$

Soinnut, kaaret ja tangentit

1 - sekantti , 2 - sointu AB (merkitty punaisella), 3 - segmentti (merkitty vihreällä), 4 - kaari
Ympyrän sektorit

Suoralla voi olla enintään kaksi yhteistä pistettä ympyrän kanssa.

Suoraa, joka leikkaa ympyrän kahdessa eri pisteessä, kutsutaan sekantiksi . Ympyrän sisällä olevaa sekanttia kutsutaan sointeeksi . Ympyrän keskipisteen läpi kulkevaa jännettä kutsutaan halkaisijaksi ; samaa termiä käytetään sen pituudesta. Halkaisija on kaksi kertaa säde: se jakaa ympyrän kahteen yhtä suureen osaan ja on siksi sen symmetria-akseli . Halkaisija on suurempi kuin mikään muu jänne [3] . $D=2R,$

Sointu katkaisee ympyrän kahteen osaan, joita kutsutaan ympyrän segmenteiksi . Kaksi eri sädettä myös jakavat ympyrän kahteen osaan, joita kutsutaan ympyrän sektoreiksi (katso kuvat) [3] .

Mitkä tahansa kaksi ympyrän epäyhtenäistä pistettä jakavat sen kahteen osaan. Jokaista näistä osista kutsutaan ympyrän kaareksi . Kaaria kutsutaan puoliympyräksi , jos sen päät yhdistävä jana on halkaisijaltaan.

Tietylle ympyrälle tapahtuu seuraavat ominaisuudet [3] .

Soinnut, jotka ovat yhtä kaukana keskustasta, ovat yhtä suuret. Toisaalta, jos kaksi sointua ovat yhtä pitkiä, ne ovat yhtä kaukana keskustasta.
Samat sointeet vastaavat yhtäläisiä kaaria ja päinvastoin.

Suoraa, jolla on täsmälleen yksi yhteinen piste ympyrän kanssa, kutsutaan ympyrän tangentiksi , ja niiden yhteistä pistettä kutsutaan suoran ja ympyrän tangenttipisteeksi. Ympyrän tangentti on aina kohtisuorassa sen säteen (ja halkaisijan) suhteen, joka on piirretty kosketuspisteeseen. Eli säde on samanaikaisesti ympyrän normaali [4] .

Ympyrän tangenttien segmentit, jotka on vedetty yhdestä pisteestä, joka ei ole ympyrän päällä, ovat yhtä suuret ja muodostavat yhtä suuret kulmat tämän pisteen ja ympyrän keskipisteen kautta kulkevan suoran kanssa [5] .

Kulmat

Kirjattu kulma θ on yhtä suuri kuin puolet keskikulman 2 θ arvosta perustuen samaan kaareen (vaaleanpunainen)
Kaaren ja jänteen pituuden laskemiseen

Keskikulma on kulma, jonka kärki on ympyrän keskellä. Sisäänkirjoitettu kulma on kulma, jonka kärki on ympyrällä ja jonka sivut leikkaavat ympyrän. He sanovat, että keskikulmat tai piirretyt kulmat perustuvat säteidensä ympyrään kaivertamaan kaariin tai jänteeseen , joka peittää tämän kaaren.

Keskikulmaa voidaan pitää sen kaaren kulmamitana, jolla se lepää. Ympyrän kaaren muodostama keskikulma, joka on yhtä pitkä kuin säde, otetaan matematiikassa kulmien mittayksikkönä, ja sitä kutsutaan radiaaniksi .

Radiaanin määritelmästä seuraa, että minkä tahansa ympyränkaaren pituus liittyy keskikulmaan tämän kaaren perusteella yksinkertaisella suhteella [6] : tässä tapauksessa saman kaaren jänteen pituus on yhtä suuri - Koska ympärysmitta on yhtä suuri kuin , kulman kasvaessa sen radiaanimitan arvo muuttuu 0:sta arvoon $L$ $\theta$ $L=R\theta ,$ $2R\sin {\theta \over 2}<L.$ $2\pi R$ $2\pi .$

Sisäänkirjoitetun kulman ulkokulma on kulma, jonka muodostaa sisäänkirjoitetun kulman toinen sivu ja toinen sivu jatke (kulma θ on kuvassa ruskea). Sisäänkirjoitetun kulman ulkoinen kulma on sama kuin sisäänkirjoitettu kulma, joka perustuu samaan jänteeseen toisella puolella.

Ympyrän ja suoran välinen kulma on sekanttiviivan ja yhden ympyrän kahdesta tangentista välinen kulma suoran ja ympyrän leikkauspisteessä.

Kirjattujen kulmien ominaisuudet :

Sisäänkirjoitettu kulma on joko yhtä suuri kuin puolet keskikulmasta sen kaaren perusteella tai täydentää puolet tästä kulmasta 180°:een. Puolen ympyrän pituiseen kaareen perustuva sisäänkirjoitettu kulma on aina suora kulma (yhtä kuin 90°).
Sisäänkirjoitettu kulma ei muuta arvoaan, kun sen kärkeä liikutetaan ympyrää pitkin.
Kaksi saman kaaren sisäänkirjoitettua kulmaa ovat yhtä suuret.

Muut ominaisuudet:

Ympyrän ulkopuolella olevasta pisteestä vedetyn kahden sekantin välinen kulma on yhtä suuri kuin sekanttien välissä olevien kaarien mittojen erotuksen puolet.
Leikkaavien jänteiden välinen kulma on yhtä suuri kuin puolet kulmassa olevan kaaren ja sitä vastapäätä olevan kaaren mittojen summasta .
Tangentin ja jänteen välinen kulma, jolla on yhteinen piste, on yhtä suuri kuin puolet kaaren kulmamittasta vähennettynä jänteellä.

Ominaisuudet

Isoperimetrinen epäyhtälö : Kaikista tietyn pituisista suljetuista käyristä ympyrä rajoittaa enimmäispinta-alan alueen.
Kolmen pisteen kautta, jotka eivät ole samalla suoralla, on mahdollista piirtää ympyrä, ja lisäksi vain yksi.
Kahden ympyrän sanotaan koskettavan , jos niillä on yksi yhteinen piste. Kahden ympyrän kosketuspiste on niiden keskipisteiden kautta kulkevalla suoralla.
Sekantin lause : Jos sekantti vedetään mielivaltaisen pisteen läpi , niin etäisyyden tulo tästä pisteestä sekantin ja ympyrän leikkauspisteisiin ei riipu sekantin valinnasta (ja on yhtä kuin absoluuttinen pisteen asteen arvo ympyrän suhteen ). Jos piste on ympyrän ulkopuolella, siitä voidaan piirtää tangentti ympyrään. Kosketuspisteen tangenttisegmentin pituuden neliö on yhtä suuri kuin sama arvo. $E$ $E$

Edellisen erikoistapauksena, kun kaksi jännettä leikkaa keskenään mielivaltaisessa pisteessä , saadaan segmenttejä, joiden pituuksien tulo yhden jänteen kohdalla on yhtä suuri kuin toisen jänteen vastaava tulo (katso kuva), eli . $E$ $AE\cdot EB=CE\cdot ED$

Kaavat

Ympärysmitta:

C=2\pi R=\pi D

Ympyrän säde:

R={\frac {C}{2\pi }}={\frac {D}{2}}

Ympyrän halkaisija:

D={\frac {C}{\pi }}=2R

Ympyrän pinta-ala, jonka säde on R :

S=\pi R^{2}={\frac {\pi D^{2}}{4}}

Keskikulman α rajoittama sektorin pinta -ala , mitattuna asteina, säteellä R :

{\displaystyle S=\pi R^{2}{\frac {\alpha }{360^{\circ ))))

Jakson alue , jota rajoittaa ympyrän kaari, keskikulma α , jänne:

S=\pi R^{2}{\frac {\alpha }{360^{\circ }}}-{\frac {R^{2}\sin \alpha }{2}}

Historia

Ympyrä on suoran ohella yleisin käyrä lähes kaikilla ihmisen toiminnan alueilla. Sen tutkimuksen ja soveltamisen historia ulottuu muinaisiin ajoiin; pyörän keksintö antoi tälle aiheelle erityisen merkityksen . Muinaiset tiedemiehet pitivät suoria viivoja ja ympyröitä ainoana esimerkkinä "täydellisistä" käyristä, joten geometriassa vain kompassia ja viivainta käyttäviä rakenteita pidettiin hyväksyttävinä , ja planeettojen liike mallinnettiin pyörimisten asettamina ympyröitä pitkin . Ympyräteoria on omistettu Euclidin kolmannelle kirjalle " Alku " .

Myös antiikin aikana havaittiin, että ympyrän kehän suhde sen halkaisijaan ( luku π ) on sama kaikille ympyröille. Historiallisesti tärkeä vuosisatojen tutkimuksen aihe on ollut tämän suhteen jalostaminen sekä yritykset ratkaista " ympyrän neliöinti " -ongelma . Myöhemmin ympyräteorian kehitys johti trigonometrian , värähtelyteorian ja monien muiden käytännössä tärkeiden tieteen ja teknologian alojen luomiseen.

Ympyröiden analyyttinen geometria

Analyyttisen geometrian kannalta ympyrä on yksinkertainen toisen asteen taso algebrallinen käyrä . Ympyrä on ellipsin erikoistapaus , jossa puoliakselit ovat yhtä suuret ja siksi ympyrä on kartioleikkaus .

Suorakulmaiset koordinaatit

Ympyrän yleinen yhtälö kirjoitetaan seuraavasti:

x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0,

tai

\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=R^{2},

missä

2x_{0}=-A,\;2y_{0}=-B,\;2R={\sqrt {A^{2}+B^{2}-4C)).

Piste on ympyrän keskipiste ja sen säde. $\vasen(x_{0},y_{0}\oikea)$ $R$

Ympyrän yhtälö, jonka säde on keskitetty origoon : $R$

x^{2}+y^{2}=R^{2}.

Yhtälö ympyrästä, joka kulkee pisteiden kautta , jotka eivät ole yhdellä suoralla (käyttäen determinanttia ): $\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{3},y_{3}\right),$

{\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{ 2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3 }&1\end{vmatrix}}=0.

Sitten nimenomaisesti ympyrän keskipisteen koordinaatit määritetään kaavoilla:

x_{0}=-{\frac {1}{2}}{\frac {y_{1}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-x_{3} ^{2}-y_{3}^{2})+y_{2}(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1 }^{2})+y_{3}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2})}{ x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})}}

y_{0}={\frac {1}{2}}{\frac {x_{1}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-x_{3}^ {2}-y_{3}^{2})+x_{2}(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1} ^{2})+x_{3}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2})}{x_ {1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})}}

Ympyrä voidaan kuvata myös parametrisella yhtälöllä :

{\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases)),\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .

Karteesisessa koordinaatistossa ympyrä ei ole funktiokuvaaja , vaan sitä voidaan kuvata kahden seuraavan funktion kuvaajien liitoksi:

y=y_{0}\pm {\sqrt {R^{2}-(x-x_{0})^{2}}}.

Jos ympyrän keskipiste on sama kuin origo, funktiot ovat muotoa:

y=\pm {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}.

Napakoordinaatit

Ympyrä, jonka säde on keskitetty pisteeseen : $R$ $\left(\rho _{0},\phi _{0}\oikea)$

\rho ^{2}-2\rho \,\rho _{0}\cos \left(\phi -\phi _{0}\right)+\rho _{0}^{2}=R^{ 2}.

Jos ympyrän keskipisteen napakoordinaatit, niin origon läpi kulkevaa ympyrää kuvataan yhtälöllä: $\rho _{0}=R,\;\phi _{0}=\alpha,$

\rho (\varphi )=2R\cos \,(\varphi -\alpha ),\;\;\;\alpha -{\frac \pi 2}\leqslant \varphi \leqslant \alpha +{\frac \pi 2}.

Jos keskipiste on koordinaattien origo, yhtälö näyttää tältä

\rho=R.

Monimutkainen taso

Kompleksisella tasolla ympyrä annetaan kaavalla:

\left|z-z_{0}\right|=R

tai parametrimuodossa

z=z_{0}+Re^{it},\,t\in \mathbb {R} .

Ympyrät avaruudessa

Avaruudessa pisteen keskitetty sädeympyrä voidaan määritellä pallon diametraalisen leikkauksen ääriviivaksi $R$ $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2}

kone

a\cpiste (x-x_{0})+b\cpiste (y-y_{0})+c\cpiste (z-z_{0})=0

missä ovat parametrit, jotka eivät ole samanaikaisesti yhtä suuret kuin nolla; eli kaikki tietyllä ympyrällä sijaitsevat pisteet ovat ratkaisuja järjestelmään $a,b,c$

{\begin{cases}(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2} ,\\a{\cdot }(x-x_{0})+b{\cdot }(y-y_{0})+c{\cdot }(z-z_{0})=0.\end{ tapaukset}}

Esimerkiksi tätä järjestelmää ratkaistaessa se voidaan asettaa parametrisesti seuraavasti: $a=c\neq 0$

{\begin{cases}x=x_{0}+{\dfrac {R}{{\sqrt {a^{2}+c^{2))))}\cdot \!\left(c\cdot \ cos t-{\dfrac {a\cdot b\cdot \sin t}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2))))}\oikea)\!,\ \[10pt]y=y_{0}+{\dfrac {R\cdot {\sqrt {a^{2}+c^{2)))){{\sqrt {a^{2}+b^{ 2}+c^{2)))))\cdot \sin t,\\[10pt]z=z_{0}-{\dfrac {R}{{\sqrt {a^{2}+c^{ 2}}}}}\cdot \!\left(a\cdot \cos t+{\dfrac {b\cdot c\cdot \sin t}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+ c^{2}}}}}\oikea)\!,\end{cases}}t\in [0;2\pi ).

Tangentit ja normaalit

Ympyrän tangentin yhtälö pisteessä on annettu yhtälöllä $\vasen(x_{1},y_{1}\oikea)$

\left({\frac {A}{2}}+x_{1}\right)x+\left({\frac {B}{2}}+y_{1}\right)y+\left({\frac {A}{2}}x_{1}+{\frac {B}{2}}y_{1}+C\right)=0.

Normaaliyhtälö samassa pisteessä voidaan kirjoittaa muodossa

{\frac {x-x_{1}}{2x_{1}+A}}={\frac {y-y_{1}}{2y_{1}+B}}.

Samankeskiset ympyrät

Ympyröitä, joilla on yhteinen keskus mutta eri säteet, kutsutaan samankeskisiksi . Kaksi ympyrää yhtälöillä:

x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\;\;\;x^{2}+y^{2}+A_ {2}x+B_{2}y+C_{2}=0

ovat samankeskisiä jos ja vain jos ja $A_{1}=A_{2}$ $B_{1}=B_{2}.$

Lisätietoja

Kolmioiden määritelmä yhdelle ympyrälle

Kolmiota ABC kutsutaan ympyrään (A,B,C) piirretyksi, jos sen kaikki kolme kärkeä A , B ja C ovat tällä ympyrällä. Tässä tapauksessa ympyrää kutsutaan kolmion ABC rajoitetuksi ympyräksi (katso rajattu ympyrä ).
Jonkin siihen piirretyn kolmion kärjen kautta piirretyn ympyrän tangentti on vastasuuntainen kolmion annettua kärkeä vastakkaisen sivun kanssa .
Kolmion ABC sanotaan olevan ympyrän (A',B',C') ympärille rajattu, jos sen kaikki kolme sivua AB , BC ja CA koskettavat tätä ympyrää joissakin pisteissä C' , A' ja B' . Tässä tapauksessa ympyrää kutsutaan kolmion ABC piirretyksi ympyräksi (katso Inscribed circle ).
Kolmiota ABC kutsutaan ympyrän ulkopuoliseksi ympyrässä (A',B',C'), jos sen kaikki 3 sivua AB , BC ja CA koskettavat tätä ympyrää joissakin pisteissä C' , A' ja B' , vastaavasti , nimittäin: yksi kahdesta sivusta koskettaa suoraan, samoin kuin kahden muun kolmion ulkopuolella olevan sivun jatkeet. Tässä tapauksessa ympyrää kutsutaan kolmion ABC excircleksi (katso Excircle ).

Ympyrän määritelmän muunnelmia

Ympyrä, jonka halkaisija on AB , on kuvio, joka koostuu pisteistä A, B ja kaikista tason pisteistä, joista jana AB näkyy suorassa kulmassa (määritelmä ympyrän halkaisijaan perustuvan kulman kautta ).
Ympyrä, jossa on jänne AB , on kuvio, joka koostuu pisteistä A, B ja kaikista tason pisteistä, joista jana AB näkyy vakiokulmassa toisella puolella, joka on yhtä suuri kuin kaaren AB sisäänkirjoitettu kulma , ja toisella vakiokulmalla toisella puolella on 180 astetta miinus edellä määritellyn kaaren AB merkitty kulma (Määrittyy sisäänkirjoitetulla kulmalla ).
Kuva, joka koostuu sellaisista pisteistä , että janojen AX ja BX pituuksien suhde on vakio: se on ympyrä (Määritelmä Apolloniuksen ympyrän kautta ). $x,$ ${\frac {AX}{BX}}=c\neq 1,$
Luku, joka koostuu kaikista sellaisista pisteistä, joista kummankin etäisyyden neliöittyjen etäisyyksien summa kahteen annettuun pisteeseen on yhtä suuri kuin annettu arvo, joka on suurempi kuin puolet annettujen pisteiden välisen etäisyyden neliöstä, on myös ympyrä (määritelmä Pythagoraan lause mielivaltaiselle suorakulmaiselle kolmiolle, joka on piirretty ympyrään, jonka hypotenuusa on ympyrän halkaisija).
Ympyrä on suljettu, itsestään leikkaamaton kuvio, jolla on seuraava ominaisuus. Jos sen sisällä olevan mielivaltaisen pisteen E läpi vedetään sointuja AB , CD , GF jne. , yhtälöt ovat voimassa: (ks. kuva). Yhtälöt täyttyvät aina riippumatta pisteen E valinnasta ja sen läpi vedettyjen sointujen suunnasta (Määritelmä leikkaavien sointujen kautta ). $AE\cdot EB=CE\cdot ED=GE\cdot EF$

Ympyrä on suljettu, itsestään leikkaamaton kuvio, jolla on seuraava ominaisuus. Jos kaksi tangenttia vedetään sen ulkopuolella olevan mielivaltaisen pisteen M kautta niiden kosketuspisteisiin ympyrän kanssa, esimerkiksi A ja B , niin niiden pituudet ovat aina yhtä suuret: . Tasa-arvo pätee aina riippumatta pisteen M valinnasta (määritelmä yhtäläisten tangenttien kautta ). $MA=MB$
Ympyrä on suljettu, itsestään leikkaamaton kuvio, jolla on seuraava ominaisuus. Tämän jänteen perusteella minkä tahansa sen jänteen pituuden suhde minkä tahansa sen sisäänkirjoitetun kulman siniin on vakioarvo, joka on yhtä suuri kuin tämän ympyrän halkaisija (Määritelmä sinilauseen kautta ) .
Ympyrä on ellipsin erikoistapaus , jossa polttopisteiden välinen etäisyys on nolla (määritelmä rappeutuneen ellipsin kautta ).
Ympyrä on sinimuotoinen spiraali osoitteessa . $n = 1$

Aiheeseen liittyvät määritelmät kahdelle piirille

Kahta ympyrää, joilla on yhteinen keskus, kutsutaan samankeskisiksi .
Kahden ympyrän, joilla on vain yksi yhteinen piste, sanotaan olevan ulkoisesti tangentti , jos niiden ympyröillä ei ole muita yhteisiä pisteitä, ja sisäisesti, jos niiden ympyrät sijaitsevat toistensa sisällä.
Kahta ympyrää, joilla on kaksi yhteistä pistettä, kutsutaan leikkauspisteiksi . Niiden (niiden rajoittamat) ympyrät leikkaavat alueella, jota kutsutaan kaksoisympyrän segmentiksi.
Kahden leikkaavan (tai tangentin) ympyrän välinen kulma on niiden tangenttien välinen kulma, joka on piirretty yhteiseen leikkauspisteeseen (tai tangenttiin).
Myös kahden leikkaavan (tai tangentin) ympyrän välistä kulmaa voidaan pitää niiden säteiden (halkaisijoiden) välisenä kulmana, joka on piirretty yhteiseen leikkauspisteeseen (tai tangenttiin).
Koska minkä tahansa ympyrän säde (tai halkaisija) ja minkä tahansa ympyrän pisteen läpi piirretty tangentti ovat keskenään kohtisuorassa, sädettä (tai halkaisijaa) voidaan pitää normaalina sille annetussa pisteessä rakennetun ympyrän suhteen. Siksi kahdessa edellisessä kappaleessa määritellyt kaksi kulmatyyppiä ovat aina yhtä suuret keskenään, kuten kulmat, joiden sivut ovat keskenään kohtisuorat.
Kahden ympyrän radikaaliakseli on niiden pisteiden paikka, joiden asteet suhteessa kahteen annettuun ympyrään ovat yhtä suuret. Toisin sanoen, kahden tietyn ympyrän neljän tangentin pituudet mistä tahansa tietyn pisteen pisteestäM ovat yhtä suuret .

Kahden ympyrän kulmien määritelmät

Kahden leikkaavan ympyrän välinen kulma on näiden ympyröiden leikkauspisteessä olevien ympyröiden tangenttien välinen kulma . Molemmat kulmat kahden leikkaavan ympyrän välillä ovat yhtä suuret.
Kahden ei-leikkaavan ympyrän välinen kulma on kahden ympyrän kahden yhteisen tangentin välinen kulma , jotka muodostuvat näiden kahden tangentin leikkauspisteestä. Näiden kahden tangentin leikkauspisteen on sijaittava kahden ympyrän välissä, eikä toisen puolella (tätä kulmaa ei oteta huomioon). Molemmat pystykulmat kahden ei-leikkaavan ympyrän välillä ovat yhtä suuret.

Ortogonaalisuus (perpendicularity)

Kahta suorassa kulmassa leikkaavaa ympyrää kutsutaan kohtisuoraksi ( suoraan ). Kaksi ympyrää yhtälöillä:

x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\;\;\;x^{2}+y^{2}+A_ {2}x+B_{2}y+C_{2}=0

ovat ortogonaalisia, jos ja vain, jos seuraava ehto täyttyy:

A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=2\vasen(C_{1}+C_{2}\oikea).

Toisin sanoen kahta ympyrää, jotka leikkaavat pisteissä A ja B keskipisteiden O ja O' kanssa , kutsutaan kohtisuoraksi , jos ne ovat suoria kulmia OAO' tai OBO' . Tämä ehto takaa suoran kulman ympyröiden välillä. Tässä tapauksessa kahden ympyrän säteet (normaalit), jotka on piirretty niiden leikkauspisteeseen, ovat kohtisuorassa. Siksi kahden ympyrän tangentit, jotka on vedetty niiden leikkauspisteeseen, ovat myös kohtisuorassa. Ympyrän tangentti on kohtisuorassa kosketuspisteen säteeseen (normaali) nähden. Yleensä käyrien välinen kulma on niiden leikkauspisteeseen piirrettyjen tangenttien välinen kulma.

Voi olla toinen lisäehto. Olkoon kahdella pisteissä A ja B leikkaavalla ympyrällä pisteissä C ja D leikkaavien kaarien keskipisteet , eli kaari AC on yhtä suuri kuin kaari CB , kaari AD on yhtä suuri kuin kaari DB . Sitten näitä ympyröitä kutsutaan ortogonaalisiksi , jos CAD ja CBD ovat suoria kulmia .
Inversion teoriassa otetaan käyttöön: ympyrä tai suora viiva, kohtisuorassa ympyrään nähden . Tässä tapauksessa kohtisuora määritetään samalla tavalla kuin edellä. $\Gamma$
Inversioteoriassa suora on kohtisuorassa ympyrään nähden, jos se kulkee sen keskustan läpi. $\Gamma$

Aiheeseen liittyvät määritelmät kolmelle piirille

Kolmea ympyrää kutsutaan toisiaan tangentiksi (leikkaus), jos mitkä tahansa niistä koskettavat (leikkaavat) toisiaan.
Geometriassa kolmen ympyrän radikaalikeskipiste on ympyräparien kolmen radikaaliakselin leikkauspiste . Jos radikaalikeskus on kaikkien kolmen ympyrän ulkopuolella, niin se on ainoan ympyrän ( radikaaliympyrän ) keskipiste, joka leikkaa kolme annettua ympyrää kohtisuoraan .

Lemma of Archimedes

Arkhimedesen Lemma . Jos ympyrä on merkitty jänteen vähentämään ympyrän segmenttiin ja koskettaa kaarta pisteessä ja jänne on pisteen tangentti , viiva on kulman puolittaja . Arkhimedesen lemmalla on tärkeä rooli isoympyrän muunnoksen rakentamisessa . $eKr$ $A_{1}$ $A_{2}$ $A_{1}A_{2}$ $BA_{1}C$

Todiste

Olkoon homotetio, joka ottaa pienen ympyrän suureen. Sitten on selvää, mikä on tämän homoteetin keskipiste. Sitten viiva menee johonkin suuren ympyrän tangenttiviivaan ja menee tämän suoran pisteeseen, joka kuuluu suureen ympyrään. Kun muistamme, että homoteetisuus muuttaa viivat niiden kanssa samansuuntaisiksi viivoiksi, ymmärrämme, että . Olkoon ja oltava piste viivalla , joka on terävä, ja olla piste viivalla , joka on terävä. Sitten, koska on tangentti suurelle ympyrälle . Siksi - tasakylkinen, ja siksi , Eli - kulman puolittaja . $G$ $A_{1}$ $eKr$ $a$ $A_{2}$ $a\parallel BC$ $G(A_{2})=A_{3}$ $D$ $a$ $\angle CA_{3}D$ $E$ $a$ $\angle BA_{3}E$ $a$ $\angle CA_{3}D$ $=$ $\angle CBA_{3}$ ${\displaystyle =\angle BCA_{3}E=\angle BCA_{3))$ $\bigtriangleup BCA_{3}$ ${\displaystyle \angle BA_{1}A_{3}=\angle CA_{1}A_{3))$ $A_{1}A_{2}$ $\angle BA_{1}C$

Descartesin lause neljän parittaisen tangenttiympyrän säteille

Descartesin lause sanoo, että minkä tahansa neljän toisiaan tangentin ympyrän säteet täyttävät jonkin toisen asteen yhtälön . Niitä kutsutaan joskus Soddy- piireiksi .

Pyöreä liike

Moniulotteinen yleistys

Yleistetty ympyrä voidaan määritellä mille tahansa matemaattiselle rakenteelle, jossa etäisyyden käsite on annettu. Erityisesti yleistys korkeadimensionaaliselle euklidiselle avaruudelle on hypersfääri ; kolmiulotteisessa avaruudessa se on tavallinen pallo . Pallogeometriassa tärkeä rooli on pallolla olevilla ympyröillä, joiden keskipiste on sama kuin pallon keskusta (" suuret ympyrät ").

Kulttuurissa ja mystiikassa

Ympyrää, samoin kuin samanlaisia ympyrän , renkaan ja pallon käsitteitä, pidettiin muinaisista ajoista lähtien jumalallisena korkeimman täydellisyyden symbolina, kauneuden ja tasa-arvon symbolina. Muinaiset tähtitieteilijät olivat vakuuttuneita siitä, että taivaankappaleet asetettiin pyöriville palloille ja siten liikkuivat ympyröissä. Kuningas Arthurin ritarit istuivat pyöreän pöydän ääressä, mikä korosti heidän tasa-arvoaan [7] .

Egyptin mytologiassa luojajumala Khnum muovaili ihmisiä savenvalajan pyörään . Salomon Sananlaskujen kirja sanoo, että maailman luodessaan Jumala "piirtää ympyrän syvyyden kasvoille" ( Sananl. 8:27 ). Suojatakseen " pahoja henkiä " sen piti piirtää ympyrä itsensä ympärille ( taikaympyrä ). Kristittyjen pyhimysten kuvissa heidän kasvojaan ympäröi pyöreä halo . Alamaailma monissa uskonnoissa koostuu samankeskisistä ympyröistä, mikä symboloi toivottomuutta. Stonehengessä ja muissa kromlekeissä kivet on järjestetty ympyrään [7] [8] .

Useissa mystisissa opeissa ympyrä symboloi usein olemassaolon äärettömyyttä ja syklisyyttä ( ouroboros , Samsara ), tasapainoa ( yin/yang ), vakautta jne. [9] . Samanlainen merkitys näkyy monien kansojen idioomeissa ja sanonnoissa, esimerkiksi: "ympäri vuoden", "sosiaalinen ympyrä", "noidankehä", "keskinäinen vastuu" jne. Luultavasti yleinen tapa vaihtaa sormuksia ihmisten välillä. morsian ja sulhanen symboloi tunteiden ikuisuutta, perheen vakautta [8] [10] .

Katso myös

Planimetrian sanasto sanalle "ympärysmitta"
Kierrä
Kolmion piirretyt ja excircles
Kolmion piirretyt ja rajatut luvut
Kirjattu ympyrä
Kategoria:Ympyrät - ympyrän peruskäsitteet ja lauseet
Rajoitettu ympyrä
Cycloid

Muistiinpanot

↑ Mathematical Encyclopedia, 1984 , s. 15-16.
↑ Elementary Mathematics, 1976 , s. 408-409.
↑ 1 2 3 Elementary Mathematics, 1976 , s. 410-411.
↑ Elementary Mathematics, 1976 , s. 409-410.
↑ L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak , I. I. Yudina. Geometria. Luokat 7-9: oppikirja oppilaitoksille. - 19. painos - M . : Koulutus , 2009. - S. 167. - 384 s. - ISBN 978-5-09-021136-9 .
↑ Elementary Mathematics, 1976 , s. 510.
↑ 1 2 Yakovleva T. S., Demenok S. L. Rakenteet ja symbolit (Abstraktio on empiirinen tosiasia). - Pietari. : Strata, 2020. - S. 65-69. — 232 s. - (vain). - ISBN 978-5-907314-11-5 .
↑ 1 2 Krug Arkistoitu 5. elokuuta 2021 Wayback Machinessa .
↑ Abdullahi, Yahya (29. lokakuuta 2019), The Circle from East to West, Charnier, Jean-François, The Louvre Abu Dhabi: A World Vision of Art , Rizzoli International Publications, Incorporated, ISBN 9782370741004 .
↑ Ympyrä . Haettu 17. maaliskuuta 2022. Arkistoitu alkuperäisestä 24. tammikuuta 2022. (määrätön)

Kirjallisuus

Atanasyan L. S. , Butuzov V. F. et al. Lisäluvut 8. luokan oppikirjaan // Geometria. – 3. painos. - M .: Vita-Press, 2003.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Perusmatematiikka. Toista kurssi. - Kolmas painos, stereotyyppinen. - M .: Nauka, 1976. - 591 s.
Korn G., Korn T. Ympyröiden, ellipsien, hyperbolien ja paraabelien ominaisuudet // Matematiikan käsikirja. - 4. painos. - M . : Nauka, 1978. - S. 70.
Markushevich A. I. Merkittävät käyrät, numero 4 . - M . : Gostekhizdat, 1952. - 32 s. Arkistoitu14. syyskuuta 2008Wayback Machinessa
Circle // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1984. - T. 4.

Linkit

Circle Arkistoitu 8. toukokuuta 2017 Wayback Machinessa osoitteessa www.univer.omsk.su.
Ympyrä ja ympärysmitta Arkistoitu 17. maaliskuuta 2017 Wayback Machinessa MetMath- verkkosivustolla.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Hienoa norjalaista Uusi Britannica (verkossa) Universalis
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4032962-8 J9U : 987007286430105171 LCCN : sh85026057 LNB : 000321923 NKC : ph121971

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
muu	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

muu

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
muu	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto

Kartioprofiilit
Päätyypit	Ellipsi Hyperbeli Paraabeli
Degeneroitunut	Piste Suoraan Pari suoraa viivaa
Ellipsin erikoistapaus	Ympyrä
Geometrinen rakenne	kartiomainen leikkaus Dandelin palloja Steinerin suunnittelu
Katso myös	Kartiomainen vakio
Matematiikka • Geometria